Tre metoder för andraderivatatest: är alla ekvivalenta med varandra?

Hej!

Jag håller just nu på att studera optimering inom flervariabelanalys. På föreläsningarna har det gåtts igenom en metod för att hitta och klassificera extrempunkter, medan jag på egen hand har hittat två stycken andra. Jag har inte hunnit djupdyka så mycket i själva teorin bakom de, och min fråga är därför om jag kan använda alla dessa tre för samma sak: det vill säga hitta och klassificera extrempunkter till en funktion.

 

Först har vi andraderivatatestet som jag fått från denna YouTube-video, som säger att:

$f_{xx} < 0, f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\implies \text{lokalt maximi}$

$f_{xx} > 0, f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\implies \text{lokalt minimi}$

$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\implies \text{lokal sadelpunkt}$
$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0\implies \text{går ej att avgöra}$

Sedan har jag förstått det som att Hessianmatrisen också kan användas för att klassificera extremvärden
$\mathcal H = \begin{pmatrix}f_xx& f_xy\f_yx&f_yy\end{pmatrix}$
där Hessiansmatrisens värde i en punkt ger att positivt definit betyder minima, negativt definit betyder maxima, indefinit betyder sadelpunkt.

 

Slutligen har jag en metod som gåtts igenom av min föreläsare:

1. När du undersökt vart funktionen kan anta kritiska punkter, ta fram Taylorpolynomet (av grad 2) till funktionen i respektive punkt.

2. Om Taylorpolynomet i punkten är positivt definit har vi ett lokalt minima, negativt definitivt så har vi ett lokalt maxima, och indefinit så har vi en sadelpunkt.

Observera: jag talar alltid om "maxima" och "minima" samt "sadelpunkter" som lokala sådana, även om jag inte alltid skriver det ovan.

Jag antar att det är Hessianen som ligger bakom teorin exempelvis bakom det första testet jag nämnde, och även har någon anknytning till Taylorpolynomet men vill kolla att alla dessa test säger samma sak så jag vet att jag kan välja bland dessa verktyg beroende på situationen.