4 svar
65 visningar
coffeshot är nöjd med hjälpen
coffeshot 179
Postad: 8 feb 16:25 Redigerad: 8 feb 16:28

Tre metoder för andraderivatatest: är alla ekvivalenta med varandra?

Hej!

Jag håller just nu på att studera optimering inom flervariabelanalys. På föreläsningarna har det gåtts igenom en metod för att hitta och klassificera extrempunkter, medan jag på egen hand har hittat två stycken andra. Jag har inte hunnit djupdyka så mycket i själva teorin bakom de, och min fråga är därför om jag kan använda alla dessa tre för samma sak: det vill säga hitta och klassificera extrempunkter till en funktion.

 

Först har vi andraderivatatestet som jag fått från denna YouTube-video, som säger att:

fxx<0,fxxfyy-fxy2>0lokalt maximif_{xx} < 0, f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\implies \text{lokalt maximi}

fxx>0,fxxfyy-fxy2>0lokalt minimif_{xx} > 0, f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2>0\implies \text{lokalt minimi}

fxxfyy-fxy2<0lokal sadelpunktf_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\implies \text{lokal sadelpunkt}
fxxfyy-fxy2=0går ej att avgöraf_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2=0\implies \text{går ej att avgöra}

Sedan har jag förstått det som att Hessianmatrisen också kan användas för att klassificera extremvärden
H=fxxfxyfyxfyy\mathcal H = \begin{pmatrix}f_xx& f_xy\f_yx&f_yy\end{pmatrix}
där Hessiansmatrisens värde i en punkt ger att positivt definit betyder minima, negativt definit betyder maxima, indefinit betyder sadelpunkt.

 

Slutligen har jag en metod som gåtts igenom av min föreläsare:

1. När du undersökt vart funktionen kan anta kritiska punkter, ta fram Taylorpolynomet (av grad 2) till funktionen i respektive punkt.

2. Om Taylorpolynomet i punkten är positivt definit har vi ett lokalt minima, negativt definitivt så har vi ett lokalt maxima, och indefinit så har vi en sadelpunkt.

Observera: jag talar alltid om "maxima" och "minima" samt "sadelpunkter" som lokala sådana, även om jag inte alltid skriver det ovan.

Jag antar att det är Hessianen som ligger bakom teorin exempelvis bakom det första testet jag nämnde, och även har någon anknytning till Taylorpolynomet men vill kolla att alla dessa test säger samma sak så jag vet att jag kan välja bland dessa verktyg beroende på situationen.

Calle_K 1473
Postad: 8 feb 18:03 Redigerad: 8 feb 18:04

Precis som du är inne på är positive definit matris ekvivalent med 2a raden i andraderivattestet. Motsvarande gäller även för negativt definit, semidefinit och indefinit (sadelpunkt).

Vad gäller taylorpolynomet av grad 2 vill jag minnas att den blir samma som hessianen, du får gärna skriva ut det så kan vi hitta likheten tydligare.

coffeshot 179
Postad: 10 feb 02:01

Tack, jag har nu forskat lite mer kring Hessianmatrisen och insett att det första testet kommer från Hessianen.

 

Taylorpolynomet av grad 2 nära en punkt (a,b) ges av

Q(x,y)=f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)+fxx(a,b)(x-a)22+fyy(a,b)(y-b)22+fyx(a,b)(x-a)(y-b)Q(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)+\frac{f_{xx}(a,b)(x-a)^2}{2}+\frac{f_{yy}(a,b)(y-b)^2}{2}+f_yx(a,b)(x-a)(y-b)

om jag förhoppningsvis fått till min LaTeX rätt samt att mitt minne stämmer :)

oggih 1159 – F.d. Moderator
Postad: 10 feb 02:55 Redigerad: 10 feb 02:59

Taylorpolynomet av grad 2 kan uttryckas med hjälp av Hessianen! Se exempelvis den här sidan, samt exemplen som de länkar till på slutet.

Så ja, alla tre perspektiven på extrempunkter du nämner i trådstarten – andraderivatorna, Hessianen och Taylorpolynomet – är faktiskt ekvivalenta!

Att övertyga sig om exakt hur de hänger ihop och följer av varandra är en bra övning! ^_^

coffeshot 179
Postad: 10 feb 10:44
oggih skrev:

Taylorpolynomet av grad 2 kan uttryckas med hjälp av Hessianen! Se exempelvis den här sidan, samt exemplen som de länkar till på slutet.

Så ja, alla tre perspektiven på extrempunkter du nämner i trådstarten – andraderivatorna, Hessianen och Taylorpolynomet – är faktiskt ekvivalenta!

Att övertyga sig om exakt hur de hänger ihop och följer av varandra är en bra övning! ^_^

Tack! Jag har läst på en del hemsidor men missat denna. Blir lite mysig helgläsning!

Svara Avbryt
Close