Tredjegradsekvation- variabelsubstitutionen

Jag förstår inte hur du har kommit till de utvecklade uttrycken.

Men om  a = 5 + 1/x  så är  1/x = a – 5
Då blir (1/x)² = ....

Jag skulle kalla 1/x för t och utveckla. Sedan får man konstanten 25 på båda sidor, så det blir en tredjegradsekvation utan konstantterm.

Om du vill fortsätta på det sätt du själv kom på:

$$\begin{gathered} 5+\frac{1}{x}=a \\ \frac{1}{x}=a-5 \\ \frac{1}{x^2}=a^2+25-10a \end{gathered}$$

Utför variabelsubstitutionen på ursprungsuttrycket:

a³+a²+25-10a=25
a ³+a²-10a=0
a(a²+a-10)=0

kommer du vidare?

Laguna skrev:

Jag skulle kalla 1/x för t och utveckla. Sedan får man konstanten 25 på båda sidor, så det blir en tredjegradsekvation utan konstantterm.

(5+t)³ + t² = 25

125 + 75t + 16t² + t³ = 25

t³ + 16t + 75 t - 100=0 

jag förstår inte riktigt vad du menade med att konstanttermen försvinner. 

joculator skrev:

Om du vill fortsätta på det sätt du själv kom på:

$$\begin{gathered} 5+\frac{1}{x}=a \\ \frac{1}{x}=a-5 \\ \frac{1}{x^2}=a^2+25-10a \end{gathered}$$

Utför variabelsubstitutionen på ursprungsuttrycket:

a³+a²+25-10a=25
a ³+a²-10a=0
a(a²+a-10)=0

kommer du vidare?

vi får då att

$$\begin{gathered} 5 + \frac{1}{x} = 0 \\ x =\hspace{0.17em}-\frac{1}{5} \\ och \\ a² + a - 10 = 0 \\ {a}_1 = \frac{1+ \sqrt{41}}{2} \\ {a}_2 = \frac{1-\sqrt{41}}{2} \\ ---- \\ 5 + \frac{1}{x} =\hspace{0.17em}\frac{1+ \sqrt{41}}{2} \\ \frac{1}{x} = \frac{1+\sqrt{41}}{2} -5 \\ \frac{1}{x} = =\hspace{0.17em}\frac{-9 + \sqrt{41}}{2} \\ {x}_1 = \frac{2}{-9 + \sqrt{41}} \end{gathered}$$

etc

Nichrome skrev:

Laguna skrev:

Jag skulle kalla 1/x för t och utveckla. Sedan får man konstanten 25 på båda sidor, så det blir en tredjegradsekvation utan konstantterm.

(5+t)³ + t² = 25

125 + 75t + 16t² + t³ = 25

t³ + 16t + 75 t - 100=0 

jag förstår inte riktigt vad du menade med att konstanttermen försvinner. 

Jaha, det gör den ju inte. Jag tänkte kvadrering fast det stod 3.

Nichrome skrev:

joculator skrev:

Om du vill fortsätta på det sätt du själv kom på:

$$\begin{gathered} 5+\frac{1}{x}=a \\ \frac{1}{x}=a-5 \\ \frac{1}{x^2}=a^2+25-10a \end{gathered}$$

Utför variabelsubstitutionen på ursprungsuttrycket:

a³+a²+25-10a=25
a ³+a²-10a=0
a(a²+a-10)=0

kommer du vidare?

vi får då att

$$\begin{gathered} 5 + \frac{1}{x} = 0 \\ x =\hspace{0.17em}-\frac{1}{5} \\ och \\ a² + a - 10 = 0 \\ {a}_1 = \frac{1+ \sqrt{41}}{2} \\ {a}_2 = \frac{1-\sqrt{41}}{2} \\ ---- \\ 5 + \frac{1}{x} =\hspace{0.17em}\frac{1+ \sqrt{41}}{2} \\ \frac{1}{x} = \frac{1+\sqrt{41}}{2} -5 \\ \frac{1}{x} = =\hspace{0.17em}\frac{-9 + \sqrt{41}}{2} \\ {x}_1 = \frac{2}{-9 + \sqrt{41}} \end{gathered}$$

etc

Hur kan jag gå vidare?

Du har fått x=-1/5    det kan du kontrollera genom att sätta in det i orginalekvationen.

Sen har du fått fel på a₁ och a₂

$$\begin{gathered} a^2+a-10=0 \\ a=-\frac{1}{2}\pm \frac{\sqrt{41}}{2} \end{gathered}$$

Detta gör att du fått fel på dina 2 sista x.

När du räknat om dina x (och kontrollerat dem) är du färdig.