Triangel
Vad gör jag för fel på a? Och på b ska jag bara ta absolutbelopp av u och v och sen ta b*h/2?
Är det verkligen triangelns vinklar du beräknar?
Rita en figur och berätta hur du resonerar.
Jag tänkte att vinklarna mellan dessa 3 linjer måste vara triangels vinklar? Hur ska jag annars göra?
Är det inte vinklarna mellan hörnens ortsvektorer, som du har beräknat?
Det kan var en god början.
Rita figur!
Behöver inte vara skalenlig, bara principiell,
så att du utifrån den kan lägga upp en "beräkningsplan".
Jahaa, hur beräknar jag vinkeln inuti triangeln?
Det måste vara en tredimensionell figur!
Alltså en perspektivteckning.
Bind ihop triangelns hörn med origo,
så det ser ut som en triangulär strut,
med triangeln som "ett lock" över strutens mynning,
Såhär?
Ja, om du förbinder alla tre hörnen med origo.
Placera hörnen så att inte två av linjerna sammanfaller (som de gör här).
Bry dig inte om koordinaterna just nu.
En strut med spetsen i origo och tre linjer från origo som slutar i var sitt hörn av triangeln.
Du kan kalla hörnen A, B och C.
De tre ortsvektorena blir då vektorerna OA, OB och OC.
Skulle du kunna visa hur man kan rita de, jag förstår inte riktigt vad du menar
Vi kan ta den figur du rean ritat.
Kalla triangelhörnen A, B och C. Låt A var överst, B nere t v och C nere t h.
Ortsvektorena blir då vektorerna OA, OB och OC.
Om du har koordinaterna (och det har du), så kan du beräkna vinkeln mellan OA och OB.
Det har du kanske redan gjort i #1
Hur lång är då sträckan AB, när du dessutom vet hur långa OA och OB är?
Ställ upp den beräkningen!
På motsvarande svt kan du sedan beräkna triangelns övrig sidor
Julialarsson321 skrev:
Ja, just så!
Sätt ut A, B och C och se mitt inlägg #8
Men hur beräknar jag vinklarna om jag inte gör de på sättet jag gjorde från början?
Du ska göra som du gjorde i början.
Då får du ut vinklarna AOB, BOC oc COA.
Dem kan du sedan utnyttja för att bestämma triangelsidorna AB, BC och CA,
Se inlägg #11
Så vinklarna är 63,68 och 139.
nu ska jag bestämma sidorna av triangeln? Gör jag det genom att ta absolutbelopp av de 3 koordinaterna?
Se #11. Du har nog redan beräknat dessa vinklar i #1
De är alltså vinklarna mellan ortsvektorerna.
Yes men jag förstår inte riktigt vad du menar att jag ska göra nu i 11
Om jag har räknat ut vinklarna rätt, hur räknar jag då ut "rätt" vinklar?
Du vet alltså vinkeln mellan, säg, OA och OB.
Du vet koordinaterna för A och B.
Då kan du beräkna längden på OA och OB.
Då kan du beräkna AB (en triangelsida!)
med hjälp av en känd sats...
Hur räknar jag Längden OA och OB?
Menar du att jag kan räkna fram c genom Pythagoras sats?
Nej, jag menar att du kan beräkna AB
när du vet längden på OA och OB och vinkeln mellan OA och OB.
Det räcker faktiskt att veta cosinus för denna vinkel!
Vilken sats kan jag då ha tänkt på? :-)
Rita triangeln AOB så ser du!
En vanlig plan triangel.
Tillägg: 16 jun 2023 09:02
Här hade jag glömt hur det började
och gick bara vidare i de ursprungliga hjulspåren,
Gå vidare till #37 för en enklare lösning.
Tillägg: 16 jun 2023 09:07
Till #27 skulle det vara (inte 37)
Alltså ta cos^-1 på de 3 vinklarna jag räknat ut?
Jag förstår fortfarande inte längden OA och OB, skulle du kunna visa hur du räknar ut de?
Använd avståndsformeln.
Rita lugnt triangeln AOB så ser du!
Och i #1 har du redan beräknat cosinus för vinkeln AOB.
Nu måste jag avvika.
Lycka till!
Ska jag använda avståndsformeln för alla 3 koordinater för att beräkna alla längder?
och jag förstår fortfarande inte hur jag får de rätta vinklarna
men i b kan jag ju då använda längderna genom b*h/2 för area
Plötligt ser jag ljuset!
Jag hade fastnat i vinkelberäkningarna.
Du har ju triangeln given genom hörnens koordinater.
Då kan du beräkna sidlängderna direkt med avståndsformeln.
Sedan kan du beräkna vinklarna genom ett tillämpa cosinussatsen
Värre än så var det inte.
Ibland kan man fastna i fel hjulspår!
Är detta rätt längder? Och skulle du kunna visa hur du använder cosinussatssn sen, jag förstår inte riktigt
Den första är inte rätt.
Var mycket noga med parenteserna!
d2 = (4-5)2+(3-(-3))2+(-2-(-2))2 = fyll på själv term för term = summan.
Gör de andra lika noggrant.
Sånt här ska du kunna kolla själv.
Läs på om cosinussatsen, t ex i MatteBoken.
Sånt här ska du också kunna göra själv.
Vilka värden är de som jag ska sätta in i cpsinussatsen?
Sidlängder.
Läs här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/trigonometri/cosinussatsen#!/
Kolla de lösta exemplen
Dessa?
På den första blir d2 = 1 + 36 + 0 = 37 och därför d = .
Sista likhetstecknet i första raden stämmer därför inte.
Gå igenom de två övriga en gång till ock kolla att det bli rätt.
Ja, jag får alla 3 att stämma nu. Kan du snälla visa hur jag använder dom nu i cinussatsen för att få ut rätt vinklar? Jag blir så förvirrad av det
Som sagt i #31:
Läs här https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/trigonometri/cosinussatsen#!/
Kolla de lösta exemplen
Ett av dem passar precis på ditt problem
Jag får det inte att funka :(
Men du är nära!
Bra figur.
Första raden är en korrekt ekvation (enl cosinussatsen)!
Andra raden är en korrekt omskrivning av ekvationen.
Här kan HL förenklas till 165 + 37 - 68.
Men kolla vad som händer sedan!
Löser man ut cosA ska det bli
cosA = (165 + 37 - 68) /( 2·sqrt(165)·sqrt(37))
Du råkade tappa kvadraterna i täljaren så det bara blev en rad kvadratrötter.
I nämnaren står det 168 i stället ör 165. Felläsnig?
Din femma i 165 läser jag hela tiden som ett s ,
och nu har du själv råkat läsa den som en åtta (8) :-)
Annars allt rätt!
Vinkeln får du sedan i radianer.
Det är OK, bara man tänker på att vinkelsumman i triangeln då är π radianer.
Kanske ändå lugnast att förvandla radianerna till grader?
Och nu vet du att π rad = 180° så att 1 rad = 180/π grader.
Bra!
Okej, hur fortsätter jag sen?
Börja med att rätta till den här så du är på rätt väg.
Gör sedan samma manöver för att bestämma cosB och vinkeln B.
Med cosinussatsen.
Vet du A och B så är C det som fattas
för att vinkelsumman ska bli π rad eller 180°.
Men passa på att även bestämma cosC och vinkeln C direkt ur triangeln.
För säkerhets skull. och för att det är en bra övning.
Stämmer detta nu? Gjorde om första sidan till den lilla. Och på b, jag har ju längderna på triangeln men inte höjden. Hur räknar jag ut h?
Kolla igen att allt stämmer.
På tredje raden står det fortfarande 168 i st f 165 i nämnaren.
Uttrycken blir enklare om du skriver täljarna som jag föreslog i #37
Blir vinkelsumman 180°?
Du kan behöva ta med ett par decimaler i graderna
för att siffrorna ska stämma bättre.
Hur som helst är de närmevärden,
så du kan inte använda likhetstecken på slutet (använd ≈ ).
Arean kan du beräkna med t ex Herons formel (kräver tre sidor)
https://www.formelsamlingen.se/alla-amnen/matematik/geometri-i/triangeleller eller med Areasatsen (kräver två sidor och mellanliggande vinkel).
https://www.matteboken.se/lektioner/matte-3/trigonometri/areasatsen#!/
Se kursboken, Matteboken, Formelsamlingen eller formelblad.
Så alla 3 vinklar är fel? Jag förstår inte hur jag ska räkna då, jag har dyskalkuli så vänder ofta på bokstäver
Jag har inte kollat din räkningar
Såg bara en felaktig siffra som jag noterade. Den har inte stor inverkan på svaret
Inget annat behöver vara fel
Ändrar du 168 till 165 i nämnaren på tredje raden i #41
så blir vinkeln 0,540414 rad (med sex siffrors noggrannhet)
Det blir 31°, avrundat till närmaste hela grad.
Allt annat är korrekt.
Tillägg: 16 jun 2023 17:22
Nu är det bara att beräkna arean. Se #42.
Bra jobbat!
Hur räknar jag ut arean?
B*h/2 vet jag ju men hur vet jag längderna från vinklarna?
Jag har fått vinklarna att stämma enligt facit nu, men hur räknar man ut radianer till grader själv? Minns att man skulle multiplicera med något tal men minns inte vilket
Vad gör jag för fel här på b? Svaret ska bli 404^1/2
Väl kämpat, Julia!
Värdena på a, b och c är rätt införda.
Värdet på s är rätt infört på tredje raden
(på andra raden ska det stå i täljaren längst ut till höger).
Uttrycket för arean, A, är korrekt uppställt.
Sedan är det "bara" att räkna, men det är verkligen inte så "bara".
Med tillgång till datoralgebra (typ Mathematica) är det lätt att få fram svaret,
som mycket riktigt är , exakt, men detta skulle jag själv inte ge mig på att försöka beräkna "för hand".
Eftersom vi känner triangelns sidor och vinklar,
skulle jag i stället använda areasatsen. Se inlägg #42.
För sidorna har vi exakta värden. För vinklarna har vi bara närmevärden, men för deras cosinusvärden har vi exakta värden i #41 ! Och det räcker för att vi ska kunna bestämma exakta sinusvärden för vinklarna. Visst?
Sedan är det "bara" att stoppa in nödvändiga värden i formeln (välj två sidor och mellanliggande vinkel) och förenkla uttrycket så långt det går.
Visa att svaret blir .
Vad gör jag för fel här?
Sidor och vinklar har rätt (närme-)värden men vinklarna har hamnat på fel ställen i figuren. Den största vinkeln ska stå mot den längsta sidan etc.
Det ska stå 127° på vinkeln som står mot sidan med längden etc.
Och 127° är ett sämre närmevärde än 2,21191 rad (se #41 ).
Använd därför sin(2,21191) i beräkningen.
Då får du ett bättre närmevärde på arean.
Kan du visa hur?
Byt ut sin(22°) mot sin(127°) på sista raden i din uppställning.
Eller ännu hellre mot sin(2,21191).
Prova båda.
Vad gör jag för fel nu?
Du har lagt in rätt värden i uttrycken men inte fullföljt beräkningarna.
Det är alldeles för grovt att ange svaret med bara två värdesiffror (20).
Rita gärna om triangeln med ungefär rätt vinklar och motsvarande sidlängder.
Se #53. Alltså en figur som är ungefär skalenlig.
Det gör det mycket lättare att följa resonemanget.
Är inte det här en övningsuppgift i linjär algebra?
Jag förstår, men 20 kan ju inte bli 29? Även om jag har fler värdesiffror? Skulle du kunna visa hur man räknar ut de rätt så man får 29? Tycker de är enklare att lära sig när man ser stegen rätt framför mig
Jag förmodar att #59 är ett svar på mitt inlägg, #57.
Varifrån kommer 29?
Du vet att exakt svar är ≈ 20,09975 (se #51)
så med två siffrors noggrannhet är 20 ett korrekt närmevärde .
Med tre siffrors noggrannhet är 20,1 ett korrekt närmevärde,
med fyra siffrors noggrannhet är 20,10 ett korrekt närmevärde, etc.
Vad blir ett korrekt närmevärde på · sin(127°) med fyra värdesiffror ?
Vad blir ett korrekt närmevärde på · sin(2,21191) med fyra värdesiffror ?
Vilket ligger närmast ?
Du kan ju också nöja dig med två siffrors noggrannhet, så är saken klar.
√629 · sin(127°) får jag till 22,42
√ 629· sin(2,21191) får jag till 4,927
Det första får jag till 20,03. Hur gjorde du?
I den andra ska du använda radianer, inte grader. Det ska bli ungefär lika mycket som det första värdet.
måste ha slagit in fel, me hur får man 22,42 till ruten ur 404?
Om du slog in fel kan du ju göra om det.
Roten ur 404 verkar vara 20,09975 (ja, det räknade någon ut längre upp). Varför skulle det bli 22,42?
men måste man svara med roten ur 404 eller kan man svara 20,1 ae? Blir så förvirrad över att det står just roten ur 404 i facit
Roten ur 404 är exakt svar, som det står i facit.
Du var på väg dit med Herons formel (#50, #51) men utan tillgång till datoralgebra, visade det sig leda till orimligt krävande beräkningar.
När du sedan övergick till area-formeln, använde du ett närmevärde på den vinkel som ingår i uttrycket för arean. Det beräknade värdet på arean blir då även det ett närmevärde. Det kan väl räcka med det, om det inte i uppgiften uttryckligen krävs ett exakt värde.
Annars får du utgå från det exakta cosinus-värdet för vinkeln (se #41)
och från det beräkna det exakta sinus-värdet (med trigonometriska ettan).
Då ska arean även här bli rot(404).
Fråga: Kan det vara meningen att uppgiften ska kräva så här mycket beräkningar?
Hur skulle du besvara frågan från D4NIEL i #58
Är inte det här en övningsuppgift i linjär algebra?
Finns det där någon enklare lösningmetod?
Är detta rätt nu, med triangels vinklar och uträckningen? Och ifall det skulle stå svara exakt, hur får jag 20,1 att bli roten ur 404?
Om man nöjer sig med ett ungefärligt svar kan man använda vinklarna som man fick i a. Man ska akta sig för att avrunda för mycket på vägen. Använder man miniräknare, vilket du förmodligen gör, så kan man låta bli att avrunda alls tills man är klar.
Dock kan man få ett exakt resultat (och det står inget här om att avrundade svar skulle duga), och då ska man inte använda de ungefärliga vinklarna som man fick i a, utan gå tillbaka till det man hade från början: de tre punkterna. Arean av en triangel har något att göra med kryssprodukt. Slå upp detta.
Till sist kan man säga att om man har använt avrundade värden men med många värdesiffror så kan man komma fram till det exakta svaret därifrån, om man misstänker att det är roten av något (om det är roten till en andragradsekvation, litet mer generellt). Om du fick 20,09975 kan du kvadrera det och får då 403,99995. Då kan man anta att svaret är roten ur 404. Men det är förmodligen alltid enklare att använda en annan metod som ger det exakta svaret utan avrundningar.
Okej, men om det inte står svara exakt borde 20,1 ae vara okej?
Om detta är en matematikuppgift, så är det säkert som Laguna säger,
dvs här krävs exakt svar, om inget annat sägs.
Vad är det för kurs du läser? Vad har ni för kursbok?
D4NIEL i #58 undrar om inte detta är en uppgift i "linjär algebra".
Laguna ger ett handfast tips:
Arean av en triangel har något att göra med kryssprodukt. Slå upp detta.
Hurra! Det måste vara så det är tänkt att uppgiften ska lösas.
Jag har kollat och inser nu hur det kan gå till. Det blir inga besvärliga räkningar.
Själv skulle jag inte kommit på att tänka åt det hållet. Jag känner nämligen bara kryssprodukten till namnet. Det var något som fysiker använde sig av och det ingick inte i de matematikkurser jag läste (i början på 60-talet). Där fanns ännu ingen "linjär algebra" värd namnet. Åter har jag alltså fått lära mig något nytt i Pluggakuten!
Julialarsson321 skrev:
Du får då utgå från det exakta cosinus-värdet för vinkeln (se #41)
och från det beräkna det exakta sinus-värdet (med trigonometriska ettan).
Det är Inte så svårt.
Med det exakta sinus-värdet för vinkeln, ska arean även här bli rot(404).
Visa att det är så! Därmed har du i så fall löst uppgiften.
I din nya figur står nu vinklarna på rätt ställen relativt sidorna.
Den största vinkeln står mot den längsta sidan etc. Bra!
Själva figuren är däremot skev. Triangeln ser ut att vara nästan likbent.
Vinkeln 127° ser ungefär lika stor ut som vinkeln 31°. Alla vinklar är ritade spetsiga.
I uttrycken för Herons formel fattas ett rotmärke över 37 på andra raden.
I uttrycket för arean fattas parenteser runt den första faktorn (uttrycket för s ).
Du har inte heller visat att A=rot(404), så du kan ännu bara säga
att man kan visa att det är så (om du t ex litar på att jag har visat det).
Bra jobbat! Du närmar dig alltmer en korrekt lösning.
För att använda trigonometiska ettan, vad är u?
Vad menar du med u?
Det står u i formelsamlingen
Om det står sin2(u)+cos2(u) = 1 i din formelsamling så är u en vinkel.
==============
Tips För bättre förståelse av trigonometriska ettan:
- Rita en enhetscirkel.
- Markera en punkt P på denna i första kvadranten.
- Rita en radie från origo till P.
- Kalla vinkeln mellan den positiva horisontella koordinataxeln och radien u.
- Denna punkt har nu koordinaterna (cos(u), sin(u)).
- RIta en rätvinklig triangel där origo och P är två av hörnen och den tredje punkten ligger på den positiva horisontella koordinataxeln.
- Använd Pythagoras sats för att bestämma längden av hypotenusan I denna triangel.
Känner du igen formeln?
