Triangel i koordinatsystem
En liksidig triangel med vertikal höjd och sidlängd 10 har ett hörn i punkten (0,5). Bestäm koordinaterna för de två övriga hörnen, om origo ligger i triangeln. Hur ska jag tänka? I facit är det koordinaterna -5(1,roten ur 3 - 1) och 5(1, 1 - roten ur 3) Hur kommer jag dit?!
Hej.
Börja med att rita ett koordinatsystem och markera den givna punkten i det.
Fundera sedan på vad det betyder att triangeln har "vertikal höjd och sidlängd 10" samt att den är liksidig och att origo ligger inuti triangeln.
Gör en grov skiss av hur du tror att en sådan triangel skulle kunna se ut. Skissen behöver inte vara skalenlig.
Visa oss din skiss så tar vi det vidare därifrån.
Ja, jag har börjat att rita ut den...
Snyggt!
Försök nu att klura ut koordinaterna (x, y) för triangelns nedre högra hörn.
Till din hjälp har du att alla sidor har längden 10.
Ja, det är det jag inte förstår.... ska jag använda pythagoras sats?
.... nej, det är väl ingen idé kom jag på, då jag redan vet sidorna.... jag vill ju bara få ena koordinaten till (-10, -5) och det är ju fel...
Om du tittar på din utmärkta bild så kanske du kan klura ut x-koordinaten för det nedre högra hörnet?
När du vet den så kan du använda avståndsformeln (dvs Pythagoras sats) för att ta fram ett uttryck för hörnets y-koordinat.
Den måste vara tvärtom alltså (10, -5) eller? Så x-värdena minus varandra och y-värdena minus varandra och sedan i kvadrat och roten ur?!
Nja, du vet att triangelns bas har längden 10, eller hur?
Hur stor del av basen ligger till höger respektive till vänster om y-axeln?
Så jag ska inte använda koodinaterna? Är det basen 10 som är hypotenusan? Jag förstår inte hur det kan kopplas ihop?
.... det är 20 mellan spetsarna.
Du är för långt fram i lösningen. Backa tillbaka lite.
Triangelns nedre vänstra hörn har inte koordinaterna (-10, -5).
Titta på den här bilden.
Är du med på att den blåa sträckan har längden 10?
Ja, det skulle vara en liksidig triangel med sidorna 10. Hur kopplas det ihop med koordinaterna? Ska jag ta värdet 20 då och dela det med 2 för att få 10?
Varför 20? Släpp tanken på att det vänstra hörnet har koordinaterna (-10, -5), för det stämmer inte.
Ta ett steg i taget. Det är ännu inte dags för Pythagoras sats.
Nu börjar vi om från början i tankebanorna:
Du vet att det blåa strecket har längden 10.
Försök att endast besvara dessa två frågor. Vänta med fortsättningen.
- Hur stor del av det blåa strecket ligger till höger om y-axeln?
- Hur stor del av det blåa strecket ligger till vänster om y-axeln?
Det är hälften av det blå strecket, så 5...
Ja, det stämmer.
Vad säger det dig om vad x-koordinaten för det nedre högra hörnet bör vara?
Det måste ju vara -5 och på den högra sidan +5?
Bra, det stämmer.
Det nedre högra hörnet har alltså koordinaterna (5, y).
Använd nu Pythagiras sats på den blåmarkerade rätvinkliga triangeln för att bestämma y.
.... alltså hypotenusan? Ska jag räkna höjden som 5 också eller som 10?
.... sidan var 10.... så det är höjden jag ska räkna ut förresten?
Skriv in de mått du känner till i din skiss.
Du kan kalla triangelns höjd h för att förenkla det hela.
Försök att i större utsträckning använda visualisering genom att skriva och markera i din skiss innan du börjar tänka på formler och beräkningar.
Jag vet inte vad jag ska räkna ut? Är det en koordinat eller är det kateten i triangeln? Jag får nu 10 i kvadrat =5 i kvadrat + h i kvadrat. det här blev roten ur 75 för höjden... Är det y? Åh, andra sidan är ju den högsta hörnet på 5 och jag är ju 5 nedanför, så y borde ju vara -10? Jag förstår inte vad jag gör....
Du är inte "5 nedanför" det är ju hur mycket nedanför du är som du försöker räkna ut.
Men du är på rätt väg och behöver bara komma på hur du ska koppla y till h.
Ett bra tips för att göra den kopplingen är att visualisera sambandet mellan y och h i din skiss.
Gör det och visa.
Jag vet inte hur jag ska visualisera detta.... det enda jag har gjort är att skriva h för höjden utmed y-axeln... Triangeln har ju -5 nedåt och +5 uppåt. Där kommer mina 10:or som jag skrev tidigare...
Varför tror du att basen ligger 5 steg under x-axeln?
Om den gjorde det så skulle inte de sneda sidorna ha längden 10.
Basen måste ligga högre upp än vid y = -5.
... alltså att y=h
Ja, det är ju en liksidig triangel med sidlängd 10. Ska jag vara ovanför x-axeln?!
Varför jag tror att den ligger nedanför x-axeln är för att origo skulle vara i triangeln...
KatrinC skrev:Varför jag tror att den ligger nedanför x-axeln är för att origo skulle vara i triangeln...
Läs min fråga igen, jag frågade inte varför du tror att basen ligger under x-axeln, jag frågade varför du tror att basen ligger just 5 steg under x-axeln.
Här är ett förslag på visualisering av sambandet mellan y och h.
Ok, så jag ska döpa höjden till h=5+y eller 5y?
.... eller bara h/2?
Vi gör så här till att börja med.
Om vi kallar ströckan mellan triangelns bas och x-axeln a så gäller det att h = a + 5.
Är du med på det?
Yes!
Bra.
(Jag bytte till att kalla den a istället för b, för att slippa risk för sammanblandning med triangelns bas, som ju brukar kallas b.)
Vi har alltså att och vi har räknat ut att (som vi för övrigt kan skriva som ).
Det betyder att
Är du med så långt?
Ja, jag hänger med på det!
Bra.
Avståndet mellan x-axeln och triangelns bas ät alltså
Det betyder att triangelns bas ligger vid , dvs vid
Det betyder i sin tur att y-koordinaten för triangelns nedre högra hörnet är och alltså att det nedre högra hörnet har koordinaterna
Hänger du fortfarande med?
Om ja, försök då att besvara följande kontrollfråga:
Vilka koordinater har triangelns nedre vänstra hörn?
Eftersom den är spegelvänd så borde den då bli tvärtom eller? Så x blir -5 och y: +5 roten ur 3?
Att x-koordinaten blir -5 stämmer.
Men varför tror du att y-koordinaten för det nedre vänstra hörnet borde vara annorlunda jämfört med det nedre högra hörnet?
Titta I din skiss, jag tror att du återigen fastnar i fällan att resonera utan visuellt stöd.
De ligger åh andra sidan på samma linje, så y borde nog vara samma värde som det högra?
Jag tänker att x-värdet är spegelvänt, då det vänstra hörnet i triangeln är lika långt från y-axeln
KatrinC skrev:De ligger åh andra sidan på samma linje, så y borde nog vara samma värde som det högra?
Ja, det stämmer.
Tänkte du på vad som hände nu när du använde din visualisering istället för att funderabut vad det "borde" vara?
Ja, en bild blir ju enklare.... Tack!
KatrinC skrev:Jag tänker att x-värdet är spegelvänt, då det vänstra hörnet i triangeln är lika långt från y-axeln
Ja, det stämmer.
Så triangelns nedre vänstra hörn har alltså koordinaterna
KatrinC skrev:Ja, en bild blir ju enklare.... Tack!
Exakt så!
I början är det svårt att veta hur man ska rita och hur man kan använda bilden för att underlätta tänkandet, men med tiden då blir det en naturlig och mycket värdefull del av problemlösningen.
Både som tankestöd under själva lösningsprocessen och som rimlighetskontroll av resultatet.
Det sista steget kanske är det kurigaste, att inse att det svar du har kommit fram till är identiskt med det som står i facit.
Ser du att det är så?
Det måste vara någon slags förkortning, men får man göra det bara så där?
De faktoriserar den högra y-koordinaten enligt och den vänstra y-koordinaten enligt .
Då blir vänstra hörnets koordinater
Och högra hörnets koordinater
Sen bryter de ut -5 ur vänstra hörnets koordinater och 5 ur högra hörnets koordinater, vilket ger och .
Personligen så föredrar jag nog den ofaktoriserade formen, pga att det få är enklare att föreställa sig ungefär var punkterna ligger.
Ok, tack för tydlig förklaring! Jag tycker nog också att den ofaktoriserade koordinaterna verkar bättre. Hur ska man veta att man ska faktorisera på t ex en tenta?
Här är det lite lurigt.
Generellt gäller att du ska svara på "enklaste form".
Men om det ena anses vara "enklare" än det andra är ju ibland olika från person till person.
Personligen tycker jag att det är viktigare att skriva istället för än att skriva istället för .
Båda skrivformerna är ju rätt, vilket är det viktigaste.
Ok. Så jag ska alltid förenkla roten ur, om det går?
Ja, det är klokt.
Ok, tack för hjälpen!
