Triangel med hörn

a) $\overrightarrow{AB}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right), \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}t-1\\ t-2\\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}t-1\\ t-2\\ -2\end{array}\right)$

Vi vill att dessa två vektorer ska vara ortogonala, med andra ord dess skalärprodukt = 0.

$\overrightarrow{AB}·\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}0\\ -2\\ -5\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}t-1\\ t-2\\ -2\end{array}\right)=-2t+4+10 \iff t=7$

$C=(7,7,1)$

Nedan finns lösningar på b) och c). Men försök se om du lyckas göra de själv innan du kikar på lösningarna :)

b)

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}7-1\\ 7-2\\ 1-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 5\\ -2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}7-1\\ 7-0\\ 1-(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}6\\ 7\\ 3\end{array}\right) \\ \left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right|=\sqrt{6^2+5^2+{(-2)}^2}=\sqrt{65} \\ \left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right|=\sqrt{6^2+7^2+3^2=}\sqrt{94} \end{gathered}$$

c)

$$\begin{gathered} \cos \left(\theta \right)=\frac{\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}}{\left|\left|\overrightarrow{CA}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{CB}\right|\right|} \iff \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}}{\left|\left|\overrightarrow{CA}\right|\right|\left|\left|\overrightarrow{CB}\right|\right|} \right) (härlett ur definitionen för skalärprodukt) \\ Skalärprodukt mellan \overrightarrow{CA} och \overrightarrow{CB} \\ \overrightarrow{CA}=-\overrightarrow{AC}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 2\end{array}\right) \\ \overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -3\end{array}\right) \\ \overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}=\left(\begin{array}{c}-6\\ -5\\ 2\end{array}\right)·\left(\begin{array}{c}-6\\ -7\\ -3\end{array}\right)=36+35-6=65 \\ \left|\left|\overrightarrow{CA}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{AC}\right|\right| \\ \left|\left|\overrightarrow{CB}\right|\right|=\left|\left|\overrightarrow{BC}\right|\right| \\ \cos \left(\theta \right) =\frac{65}{\sqrt{65}\sqrt{94}}=\sqrt{\frac{65}{94}} \\ \theta ={\cos }^{-1}\left(\frac{65}{\sqrt{65}\sqrt{94}}\right)={\cos }^{-1}\left(\sqrt{\frac{65}{94}}\right) \\ \cos \left(\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ Ser snabbt att vinke\ln inte är lika med \frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ Men är den större eller mindre? \\ \sqrt{\frac{65}{94}}=\frac{\sqrt{65}}{\sqrt{94}}\approx \frac{8}{10}=\frac{4}{5} \\ \frac{4}{5}>\frac{1}{\sqrt{2}} \left(\frac{4}{5}=0,8 \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{1,414..}\approx 0,7\right)\Rightarrow \cos \left(\theta \right)<\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \theta <\frac{\mathrm{\pi }}{4} \\ Vinke\ln är alltså mindre än \frac{\mathrm{\pi }}{4} \end{gathered}$$