Triangelns form utifrån samband

Uppgift: I en triangel gäller för de tre vinklarna u, v och w sambandet $\cos w = \sin u \times \sin v$. Vad kan du utifrån sambandet säga om triangelns form?

 

Vinkelsumman i en triangel är alltid 180°. Det ger:

$$\begin{gathered} u + v + w = 180° \\ w = 180° - u - v \end{gathered}$$

Sätter in det i sambandet $\cos w = \sin u \times \sin v$:

$\cos (180° - u - v) = \sin u \times \sin v$

 

VL: $\cos w = \cos (180° - u - v) = \cos (180°-(u + v\left)\right)$

Jag har alltså bytt ut $u$ mot $(180° - u)$.

Utifrån detta tycker jag mig se en koppling till additionsformeln för cosinus: $\cos (u + v) = \cos u \times \cos v - \sin u \times \sin v$

Jag sätter använder additionsformeln för cosinus:

$\cos (180° -(u + v) = \cos (180° - u) \times \cos v - \sin (180° - u) \times \sin v$

Jag vet att $\cos (180° - u) =-\cos u$och $\sin (180° - u) = \sin u$

Det ger:

$$\begin{gathered} \cos (180° -(u + v) = \cos (180° - u) \times \cos v - \sin (180° - u) \times \sin v \\ = -\cos u \times \cos v - \sin u \times \sin v \end{gathered}$$

Men jag förstår liksom inte vad jag ska komma fram till om man säger så.