"Triangulerande-hastigheter"
Hejsan !
Hämtat ur ett räkneexempel
En stege på 5m glider nerför en husvägg, när stegen befinner sig x= 3m från husväggen,
glider den utåt med hastigheten x' = 0.1 m/s och då befinner sig den nedåt glidande stegtoppen mot väggen, y= 4m över marken. Beräkna hur snabbt stegtoppen glider nedåt just vid detta tillfälle.
För att få fram y' kan man derivera Pythagoras implicitivt och sen sätta in de givna värdena:(x=3m, x'=0.1m/s, y=4m, )
(D): y^2 + x^2 = 5^2 --> 2yy' + 2xx' = 0 --> y' = -2xx' / 2y , sätt in värdena ;
y' = -2*3*0.1 / 2*4 --> 0.6 / 8 = 0.075 , Svar när stegbasen befinner sig 3m från husväggen glider stegen nerför väggen med hastigheten 0.075 m/s..
Nu till frågan- kan man även räkna ut med vilken hastighet diagonalen = hypotenusan(z) ändrar sig(z') gentemot en fast referenspunkt, i detta fallet just när x = 3m. Stegens diagonal kommer alltså att kortas gentemot denna punkt när den glider nerför väggen i y-led, till slut kommer stegens diagonal ju vara = 3m när den ligger platt mot marken, om vi för enkelhetens skull antar att marken är perfekt jämn och helt horizontell.. Bara för att ha nåt att räkna utifrån )
Beklagar jag är så tafflig på att bifoga bilder, men hoppas det går att förstå mina beskrivningar ändå)
Skulle det fungera även här att derivera Pythagoras impicivt utifrån de givna värdena för att få fram diagonalens förändringshastighet dvs z' ?
Det som undras över är bla att z ju är strörre vid denna angivna punkten, och därför borde ändras långsammare gentemot hastigheterna i x och y-led ? , hur mycket långsammare vet jag inte riktigt hur man räknar ut
Alltså man har : y^2 + x^2 = z^2 , och imp.derivatan blir ju då (?) --> 2yy' + 2xx' = 2zz'
--> (2*4*0.075) + (2*3*0.1) = 2*5z' --> z' = 0.6 + 0.6 / 10 --> z' = 1.2 / 10 = -0.12 m/s minskar stegdiagonalen med, vilket verkar totalt fel !, då z är längst vid start ögonblicket och bör alltså ändras långsammast.
Om man tar bara hastighetssambanden genom Pythagoras får man :
y'^2 + x'^2 = z'^2 --> z' = sqrt(0.075^2 + 0.1^2) = 0.125 m/s vilket också blir lika fel nästan
Funderar även på om man skulle kunna använda sig av detta genom att ändra proportionerna för just detta samband :
tex om : y'^2 + x'^2 = z'^4 fast inser det kommer bli än mera felaktigt då roten ur tal mindre än 1 kommer att bli större än värdet på kvadraten..
Mycket tacksam för tips ...
Jag förstår inte vad du menar. Hypotenusan är hela tiden lika med stegens längd, d v s 5 m i den här uppgiften.
Ja sorry, förstår det svårbegripliga,, joo det är alltså den "tänkta-diagonalen" dvs just stegens hela längd på 5m, när experimentet BÖRJAR, men sen kommer ju stegens topp att glida ända ner mot marken och under tiden det sker kommer även den tänkta diagonalen hela tiden ändras och minska = referenslinjen mellan stegens topp och bottenreferenspunkten dvs då x= 3m ,
enligt referenspunkten x=3m kommer ju de nedersta delarna av stegen försvinna utanför denna punkt, så att den-tänkta- diagonalen minskar innanför ref.punkten.
Precis som den mobila-föränderliga-triangelns-area går mot noll när stegtoppen når marken,
dvs en rätvinklig triangel som hela tiden ändrar sin form men basen(x) är konstant på 3m , endast y och z rör sig )
alltså när stegen till slut glidit färdigt och hamnat på marken kommer ju ingen reell diagonal mellan referenspunkterna längre finnas utan då är ju stegens diagonal samma som baslängden dvs x=3m ,, alltså under färden nedför väggen i y-led och utåt från väggen i x-led, kommer även diagonalen mellan stegens topp och bas referenspunkten hela tiden ändras tills den inte längre är en diagonal dvs då y=0 m över marken .. MEN frågan gällde alltså hur man utifrån y' och x' även kan räkna ut förändringshastigheten i z-led , z'- dvs hur snabbt diagonalen krymper när x=3m och y=4m, hoppas det går lättare att förstå ?
Kom just på att eftersom x är konstant så utgår givetvis x' så derivatan borde istället bli
2x+2yy'= 2zz' (??)--> 6+0.6 /10 = z' som kanske blir -0.66 m/s istället (??), helt osäker om jag tänker i rätt banor för diagonalens förändringshastighet här ..
Stegens båda ändar kommer att flytta sig hela tiden. Stegens längd är konstant.
Om stegen är lodrät är stegens "fotpunkt" 0 meter från väggen och toppen är 5 m upp. När "fotpunkten" är 1 m från väggen är toppen meter upp. När fotpunkten är 2 m från väggen är toppen m upp. När fotpunkten är 3 m från väggen är toppen 4 meter upp. När fotpunkten är 4 m från väggen är toppen 3 m upp. När fotpunkten är 5 m från väggen ligger stegen platt.
Varför ligger inte den här uppgiften under Ma5? /moderator
Tänk dej istället stegens längd som ett teleskopiskt rör, fast förankrat med gångjärn i botten 3m från husväggen och rörets topp är förankrat i husväggen tex med hjul som löper i en skena.. och då vill jag alltså beräkna med vilken hastighet röret trycks ihop alltså z-diagonalen krymper när punkten x är konstant 3m från husväggen och precis när y är 4m och y’ är 0.075 m/s och x =3m och är konstant ,
Ett skapat exempel bara för att ha nåt att räkna på
alltså vad krymphastigheten z’ är just vid detta tillfälle
hoppas det är lättare att förstå nu ))
Smaragdalena skrev:Varför ligger inte den här uppgiften under Ma5? /moderator
