Trigonomertri

Kan du beräkna vad sin(x) är med hjälp av trigonometriska ettan?

Kan du beräkna sin(x)? 

Gör en rätvinklig triangel med närliggande 3, hypotenusa 5.

sin = motstående/hypotenusa

cos = närliggande/hypotenusa

tan = motstående/närliggande

Du kan nyttja att tan x = sin(x) / cos(x) också mha trig.ettan

sin(x) = sqrt(1/(cos^2(3/5)))

Är det rätt så långt?

Du vet att $$\begin{gathered} \cos \left(x\right)\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}3/5 \\ {\cos }^{2}x =\hspace{0.17em}(3/5{)}^2 \end{gathered}$$

Kan du trigonometriska ettan?

cos^2(x)+sin^2(x)=1. 

(3/5)^2 + sin^2(x) = 1, kommer du vidare?

cos^2(x)+sin^2(x) = 1

Blir det då (3/5)^2+sin^2(x) = 1?

Förlåt, såg inte att min kommentar lades in. Återkommer inom kort!

sin(x) = 5/3

Nej, sin(v) kan aldrig vara mer än 1 för någon vinkel v.

Hur får du 5/3?

Slarv!

sin(x)=16/25

Det där är värdet för sin^2(x), sin(x) = $\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\hspace{0.17em}\pm \frac{4}{5}$

Men då vi håller oss i första kvadrant ($0<x<\frac{\pi }{2}$) kan vi strunta i det negativa svaret.

Hur går jag vidare härifrån?

$\tan \left(x\right)=\frac{\sin \left(x\right)}{\cos \left(x\right)}$

tan(x) = 4/3. 

Vad säger då 0<x<pi/2?

Mycket riktigt.

0<x<pi/2 anger var i enhetscirkeln vi söker vårt svar. 

Är jag klar vid tan(x) = 4/3? Hur bevisar jag att endast det är svaret?

Du har räknat fram att sin^2(x) är 16/25. Då skulle sin(x) kunna vara 4/5 eller -4/5.

Eftersom 0<x<pi/2 måste sin(x) vara 4/5, inte -4/5.

Nu har du räknat fram sin(x) och cos(x).

tan(x) = sin(x)/cos(x) = (4/5) / (3/5)  =  4/3.

Klart.

Tack alla!