Trigonometri

Kalla bergstoppens höjd h och det ursprungliga avståndet till bergstoppen x.

Börja med att rita en principiell skiss som visar de två situationerna, där du markerar de tre kända (10°, 11° och 200 m) och de två okända (h och x) storheterna. Det kan vara bra att överdriva storleken på vinklarna här.

Skriv sedan upp de två samband du kan utläsa ur skissen. Båda har med tangens att göra.

Visa din skiss och dina samband.

Om uppgiften var formulerad precis som du skrev är den lite förrädisk:

Du sitter i en båt och ser en bergstopp. Det är 10 grader från bergstoppen till havet. Hur många meter över havet är bergstoppen. Utgå från att jorden är platt.

Läser man hit går uppgiften inte att lösa. Frågan i första stycket går inte att besvara utan informationen i det andra (nedan). 

Du åker 200m fram och det blir 11 grader istället. Hur långt från bergstoppen var du innan?

Nu är informationen tillräcklig för att besvara båda frågorna (enligt vad Yngve skrev ovan). 

Sedan kan man småle lite åt att man skulle kunna mäta vinkeln till bergstoppen på en grad när i en båt. Särskilt om man har ögonen i höjd med vattenytan. Men, det förstås, om Jorden är platt är väl ingenting omöjligt. 😂

Sätt upp variabler

• Låt h = bergstoppens höjd över havet (i meter)

• Låt x = ditt ursprungliga horisontella avstånd till bergstoppen (i meter)

Första positionen (10°) tan⁡(10∘)=hx\tan(10^\circ) = \frac{h}{x}tan(10∘)=xh​ h=xtan⁡(10∘)h = x \tan(10^\circ)h=xtan(10∘) Andra positionen (11°), 200 m närmare

Avståndet är nu x−200x - 200x−200:

tan⁡(11∘)=hx−200\tan(11^\circ) = \frac{h}{x - 200}tan(11∘)=x−200h​ h=(x−200)tan⁡(11∘)h = (x - 200)\tan(11^\circ)h=(x−200)tan(11∘) Sätt uttrycken lika xtan⁡(10∘)=(x−200)tan⁡(11∘)x \tan(10^\circ) = (x - 200)\tan(11^\circ)xtan(10∘)=(x−200)tan(11∘) Stoppa in värden tan⁡(10∘)≈0.1763\tan(10^\circ) \approx 0.1763tan(10∘)≈0.1763 tan⁡(11∘)≈0.1944\tan(11^\circ) \approx 0.1944tan(11∘)≈0.1944 0.1763x=0.1944(x−200)0.1763x = 0.1944(x - 200)0.1763x=0.1944(x−200) 0.1763x=0.1944x−38.880.1763x = 0.1944x - 38.880.1763x=0.1944x−38.88 38.88=0.1944x−0.1763x38.88 = 0.1944x - 0.1763x38.88=0.1944x−0.1763x 38.88=0.0181x38.88 = 0.0181x38.88=0.0181x x≈38.880.0181≈2148 mx \approx \frac{38.88}{0.0181} \approx 2148 \text{ m}x≈0.018138.88​≈2148 m Beräkna höjden h=xtan⁡(10∘)≈2148⋅0.1763≈379 mh = x \tan(10^\circ) \approx 2148 \cdot 0.1763 \approx 379 \text{ m}h=xtan(10∘)≈2148⋅0.1763≈379 m

GeorgeK skrev:

Sätt upp variabler

• Låt h = bergstoppens höjd över havet (i meter)

• Låt x = ditt ursprungliga horisontella avstånd till bergstoppen (i meter)

Första positionen (10°) tan⁡(10∘)=hx\tan(10^\circ) = \frac{h}{x}tan(10∘)=xh​ h=xtan⁡(10∘)h = x \tan(10^\circ)h=xtan(10∘) Andra positionen (11°), 200 m närmare

Avståndet är nu x−200x - 200x−200:

tan⁡(11∘)=hx−200\tan(11^\circ) = \frac{h}{x - 200}tan(11∘)=x−200h​ h=(x−200)tan⁡(11∘)h = (x - 200)\tan(11^\circ)h=(x−200)tan(11∘) Sätt uttrycken lika xtan⁡(10∘)=(x−200)tan⁡(11∘)x \tan(10^\circ) = (x - 200)\tan(11^\circ)xtan(10∘)=(x−200)tan(11∘) Stoppa in värden tan⁡(10∘)≈0.1763\tan(10^\circ) \approx 0.1763tan(10∘)≈0.1763 tan⁡(11∘)≈0.1944\tan(11^\circ) \approx 0.1944tan(11∘)≈0.1944 0.1763x=0.1944(x−200)0.1763x = 0.1944(x - 200)0.1763x=0.1944(x−200) 0.1763x=0.1944x−38.880.1763x = 0.1944x - 38.880.1763x=0.1944x−38.88 38.88=0.1944x−0.1763x38.88 = 0.1944x - 0.1763x38.88=0.1944x−0.1763x 38.88=0.0181x38.88 = 0.0181x38.88=0.0181x x≈38.880.0181≈2148 mx \approx \frac{38.88}{0.0181} \approx 2148 \text{ m}x≈0.018138.88​≈2148 m Beräkna höjden h=xtan⁡(10∘)≈2148⋅0.1763≈379 mh = x \tan(10^\circ) \approx 2148 \cdot 0.1763 \approx 379 \text{ m}h=xtan(10∘)≈2148⋅0.1763≈379 m

Om du sätter TeX-koden innanför dubbla dollartecken så blir det det du vill.