Trigonometri i intregral

Har inte kollat att din förenkling är rätt, men sätt

$u = \tan \frac{t}{2}$

Ibland märker man att det blir krångligt att parametrisera, som det blivit här.

Då kan det vara klokt att försöka utnyttja Greens formel istället, men då måste vi göra en sak först. Vadå?

AlvinB skrev:

Ibland märker man att det blir krångligt att parametrisera, som det blivit här.

Då kan det vara klokt att försöka utnyttja Greens formel istället, men då måste vi göra en sak först. Vadå?

Lägga till segment av ellipsen för att sluta kurvan? 

fastpaB skrev:

AlvinB skrev:

Ibland märker man att det blir krångligt att parametrisera, som det blivit här.

Då kan det vara klokt att försöka utnyttja Greens formel istället, men då måste vi göra en sak först. Vadå?

Lägga till segment av ellipsen för att sluta kurvan? 

Att lägga till r1 och r2 för att sluta kurvan var det enda jag kunde komma på så att ${\int }_r\mathit{F}d\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{\int }}_{\mathbf{r}\mathbf{1}}\mathit{F}\mathbf{d}\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{+}\mathbf{ }{\mathbf{\int }}_{\mathbf{r}\mathbf{2}}\mathit{F}\mathbf{d}\mathit{r}\mathbf{ }\mathbf{=}\mathbf{ }\iint \mathbf{(}\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{Q}}{\mathbf{\partial }\mathbf{X}}\mathbf{ }\mathbf{-}\mathbf{ }\frac{\mathbf{\partial }\mathbf{P}}{\mathbf{\partial }\mathbf{y}}\mathbf{)}\mathit{d}\mathit{x}\mathit{d}\mathit{y}$men då har jag väl bara fått två lika krångliga kurvor till att bestämma? Så det kändes inte rätt 

Tänk på singulariteten i origo. 

Dr. G skrev:

Tänk på singulariteten i origo. 

Är lite osäker på vad det innebär. Försökte googla men hittade mest att det betyder att funktionen har en dubbelrot i origo. 

Singularitet brukar betyda att man har delat på noll där, behöver inte vara dubbelrot.

Det är ofta ett krav i många satser att de bara fungerar om hela området/figuren inte har singulariteter i sig. 

Du ser att du har /(x2+y2) i din ursprungliga integral, så i origo, när både x och y är 0, så blir det /0 = singularitet

Micimacko skrev:

Singularitet brukar betyda att man har delat på noll där, behöver inte vara dubbelrot.

Det är ofta ett krav i många satser att de bara fungerar om hela området/figuren inte har singulariteter i sig. 

Du ser att du har /(x2+y2) i din ursprungliga integral, så i origo, när både x och y är 0, så blir det /0 = singularitet

aha okej, men vad säger det mig i denna uppgift? Jag är lite vilsen ;) 

Det säger att du får svårt att använda greens formel. Jag tror på Dr G:s ide. 

Micimacko skrev:

Det säger att du får svårt att använda greens formel. Jag tror på Dr G:s ide. 

Känner mig lite dum här men jag är ingen höjdare på att jobba med tangens. Dr G säger sätt u=tan$\frac{t}{2}$, men var i min integral hittar  jag tan$\frac{t}{2}$ att byta ut till u? tan är väl sin/cos?

Det är ett variabelbyte som jag har för mig är känt för att lösa allt med sin, cos osv. Kolla i din bok eller googla fram vad sin och dx blir. Om du har flera sånna här uppgifter lönar det sig att lära sig det utantill. Kommer inte ihåg själv vad det blir 🙈 

Verkar finnas en del på youtube om det också, där de kallar det för weierstrass substitution. 

Micimacko skrev:

Det är ett variabelbyte som jag har för mig är känt för att lösa allt med sin, cos osv. Kolla i din bok eller googla fram vad sin och dx blir. Om du har flera sånna här uppgifter lönar det sig att lära sig det utantill. Kommer inte ihåg själv vad det blir 🙈 

Verkar finnas en del på youtube om det också, där de kallar det för weierstrass substitution. 

Jaha såpass, då låter det verkligen som någonting jag ska ta och kolla upp :) Har undvikit att jobba med tangens så långt det gått, antar att det straffar sig nu ;) Tack!

Vektorfältet $F(x,y)=\frac{(-y,x)}{x^2+y^2}$ kan uttryckas i polära koordinater:

$F(r,\theta)=\frac{-(r\sin(\theta))\hat{x}+ (r\cos(\theta))\hat{y}}{r^2}=\frac{\hat{\theta}}{r}$

Vi ser att $\nabla\times F=0$ samt att linjeintegraler i radiell led (särskilt utmed linjen x=0 eller y=0) är noll eftersom $\hat{\theta}\cdot (\hat{r}\mathrm{d}r)=0$

Green formel i planet ger oss därför (om vi går runt singulariteten)

$\displaystyle \int_{\Gamma_1}\,F(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+\underbrace{\int_{\Gamma_2}\,F(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}}_{=0}+\int_{\Gamma_3}\,F(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}+\underbrace{\int_{\Gamma_4}\,F(\mathbf{r})\cdot \mathrm{d}\mathbf{r}}_{=0}=0$

Om vi byter genomloppsriktning på $\Gamma_3$ får vi slutligen

$\displaystyle \int_{\Gamma_1}\,F(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=-\int_{\Gamma_3}\,F(\mathbf{r})\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=\int_0^{\frac{3\pi}{2}} \frac{1}{r}\hat{\theta}\cdot (r\hat{\theta})\mathrm{d}\theta=\frac{3\pi}{2}$

Det här har jag aldrig fattat. Hur byter du ut x och y till θ?  Alltså första likheten

Jag antar att du menar $-\sin(\theta)\hat{x}+\cos(\theta)\hat{y}=\hat{\theta}$.

Det kan se lite underligt ut första gången man ser det, men kanske kan den här bilden hjälpa dig:

Lägg märke till hur $\hat{\theta}$ består av $-\sin(\theta)$ i xled och $\cos(\theta)$ i y-led.

Edit: Det går såklart även bra att visa att $\nabla\times F=0$ samt att  linjeintegralerna utmed x=0 och y=0 blir 0 i rektangulära koordinater om man känner sig obekväm med polära koordinater.

Sedan lägger man en trekvarts cirkel med radien $r$ runt singulariteten och räknar som man är van vid.

Och hur ser du att rotationen är 0? Känns spontant som det borde vara tvärtom när pilarna pekar längs med cirkeln 🙃

Vad är det roliga med att göra saker man kan? 😃

Eftersom fältdelarna i radiell och z-led är noll får vi bara kvar:

$\displaystyle \nabla \times (\frac{\hat{\theta}}{r})=\hat{z}\frac{1}{r}(\frac{\partial (r\frac{1}{r})}{\partial \theta}-0)=0$

I sista steget, hur fick du dr till rθ?

$r$ är ju bara skalfaktorn, men om du glömt bort det och vill dra nytta av dina nyvunna kunskaper kan du studera differentialen (givet $\mathbf{r}=r(\cos(\theta),\, \sin(\theta))$, radien är konstant på cirkelbågen)

$\displaystyle \mathrm{d}\mathbf{r}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial \theta}\mathrm{d}\theta=r(-\sin(\theta)\hat{x}+\cos(\theta)\hat{y})\mathrm{d}\theta=\hat{\theta}r\mathrm{d}\theta$