Trigonometri triangel i cuben

Jag vet inte hur man skall lösa följande uppgift eller hur man skall förstå lösningsexemplaret för den delen heller. Helt vilse. 

 

Fråga: 

En kub har sidan 2 cm. Triangeln ABC har hörn i mittpunkterna på kubens respektive sidor.

Bestäm vinkeln A i triangeln ABC.

 

Lösningsexemplar:

Vi får reda på att kuben har sidor med längden 2 cm och att ABC har hörn på kubens mittpunkter på kantlinjerna. Med hjälp av denna information kan vi markera ut följande röda rätvinkliga trianglar i figuren.

Ovan har även vissa längder i de röda trianglarna markerats. Dessa är 12+22​=5​ och har beräknats med pythagoras sats.

Nu kan vi fortsätta med att ta reda på triangelns tre längder och vi använder pythagoras sats till detta.

 AB=(5​)2+12​=6​

 BC=(5​)2+12​=6​ 

 AC=(5​)2+12​=6​ 

Dvs alla sidor är lika långa i denna triangel. Det är därmed en liksidig triangel och alla vinklar kommer att vara 60∘. Vi visar ändå hur man kan ta fram vinkeln A med cosinussatsen.

 6​2=6​2+6​2−2⋅6​⋅6​⋅cosA 

 6=6+6−12⋅cosA 

 cosA=−12−6​ 

 cosA=21​ 

 A=cos−1(21​)=60∘  

 

Jag förstår att man kan använda cossinussatsen men inte hur man skall ta reda på alla sidor på sättet lösningsexemplaret angav eller hur dem ens löste det även om jag fick lösningexemplaret som hjälp.