7 svar
47 visningar
Wilar 191
Postad: 31 okt 2018 17:13 Redigerad: 31 okt 2018 18:23

Trigonometrisk olikhet

Uppgiften är att visa |sinx -siny||x-y|. Tydligen kan detta göras med hjälp av medelvärdessatsen, men jag resonerar på ett lite annat vis. Maxvärdet för |sinx -siny| är ju 2 och detta inträffar ju när x = 1, y = -1 sinx=1, siny =-1 (eller tvärtom). Då blir |x-y| =π > 2 (maximala värdet för VL). Alltså |sinx -siny||x-y|. Håller mitt resonemang eller fattas något? Måste det göras med medelvärdessatsen?

Smaragdalena 57658 – Lärare
Postad: 31 okt 2018 17:44 Redigerad: 31 okt 2018 17:53

Jag hänger inte med i ditt resonemang. Om x = 1 så är sin(x)=0,8414709848078965066525023216303.

Wilar 191
Postad: 31 okt 2018 17:53
Smaragdalena skrev:

Jag hänger int e med i ditt resonemang. Om x = 1 så är sin(x)=0,8414709848078965066525023216303.

 Oj. Menade givetvis att max(VL) inträffar då sinx=1, siny=-1 (eller tvärtom). Fixat nu.

Smaragdalena 57658 – Lärare
Postad: 31 okt 2018 18:05

Matte357, det står i Pluggakutens regler att man inte får ändra på ett inlägg som har blivit besvarat. Däremot kan man stryka över det som blev fel och skriva det riktiga efteråt. Rätta till, tack! /moderator

Kallaskull 677
Postad: 31 okt 2018 18:14

Medelärdesatsen ska användas

Anta x<y och f(x)=sin(x) då finns c så fx-fyx-y=f'csin(x)-sin(y)=cos(c)x-y  och eftsersom cos(c)1 för alla c, alltså gäller sin(x)-sin(y)x-y

Wilar 191
Postad: 31 okt 2018 18:24
Kallaskull skrev:

Medelärdesatsen ska användas

Anta x<y och f(x)=sin(x) då finns c så fx-fyx-y=f'csin(x)-sin(y)=cos(c)x-y  och eftsersom cos(c)1 för alla c, alltså gäller sin(x)-sin(y)x-y

 Ja, jag vet som sagt det. Men håller min lösning också?

Albiki 5320
Postad: 31 okt 2018 20:06

Hej!

Det måste inte lösas med hjälp av Medelvärdessatsen.

Om du kan visa att

    |sinx-siny|2|\sin x - \sin y| \leq 2

för alla xx och yy och att

    2|x-y|2 \leq |x-y|

för alla xx och yy så har du visat att

    |sinx-siny||x-y|.|\sin x -\sin y| \leq |x-y|.

Den första olikheten är sann via Triangelolikheten och definition av sinusfunktionen, men den andra olikheten är inte sann för alla xx och y.y.

Du vill ju visa att din olikhet är sann för alla xx och yy, så då fungerar inte din tankegång; den fungerar för tal xx och yy som ligger långt från varandra (mer än 2 steg från varandra), men inte för andra tal.

Albiki 5320
Postad: 31 okt 2018 20:37

Jag föreslår att du använder Additionsformeln för sinusfunktionen och noterar att om y<xy <> så kan du skriva

    x=0.5(x+y)+0.5(x-y)ochy=0.5(x+y)-0.5(x-y).x = 0.5(x+y) + 0.5(x-y) \,och\, y = 0.5(x+y)-0.5(x-y).

  • sinx=sin0.5(x+y)cos0.5(x-y)+cos0.5(x+y)sin0.5(x-y)\sin x = \sin 0.5(x+y)\cos0.5(x-y) + \cos 0.5(x+y) \sin 0.5(x-y)
  • siny=sin0.5(x+y)cos0.5(x-y)-cos0.5(x+y)sin0.5(x-y)\sin y = \sin 0.5(x+y) \cos0.5(x-y) - \cos 0.5(x+y)\sin 0.5(x-y)

Det ger differensen

    sinx-siny=2cos0.5(x+y)sin0.5(x-y)\sin x - \sin y = 2\cos 0.5(x+y)\sin 0.5(x-y).

Notera nu att

    |sin0.5(x-y)|0.5|x-y||\sin 0.5(x-y)| \leq 0.5|x-y|

och den önskade olikheten följer för alla xx och yy som är sådana att y<x.y <> 

Hur hanterar man vinklar xx och yy som är sådana att xyx \leq y?

Svara Avbryt
Close