Trigonometriska ekvationer

Jag ska lösa följande uppgift:

$$\begin{gathered} \cos 2x=3\sin x+2 \\ \cos 2x-3\sin x=2 \\ {\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x-3\sin x =\hspace{0.17em}2 \\ 1-{\sin }^{2}x-{\sin }^{2}x -3\sin x =\hspace{0.17em}2 \\ 1-2{\sin }^{2}x-3\sin x =\hspace{0.17em}2 \\ -2{\sin }^{2}x-3\sin x =\hspace{0.17em}1 \\ {\sin }^{2}x+\frac{3}{2}\sin x =\hspace{0.17em}-\frac{1}{2} \\ \sin x =\hspace{0.17em}t \\ {t}^2+\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}=0 \\ {\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2-\frac{9}{16}+\frac{8}{16}=0 \\ {\left(t+\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{1}{16} \\ t+\frac{3}{4}=\pm \sqrt{\frac{1}{16}} \\ t\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\frac{3}{4}\pm \frac{1}{4} \\ {t}_1=-\frac{1}{2} \\ {t}_2=-1 \\ \sin x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-\frac{1}{2}: \\ {x}_{1 }=\hspace{0.17em}\frac{7\pi }{6}+n2\pi n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ {x}_2=\frac{11\pi }{6}+n2\pi n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \\ \sin x\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}-1 \\ {x}_3 = \frac{3\pi }{2}+n2\pi n\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

Jag tycker att jag gör rätt. Jag är tämligen säker på att jag gör rätt, men enligt facit så ska det bli 5pi/6 och pi/6? Har jag räknat fel? Ska jag egentligen lösa ut sin(x) = 1/2?