Trigonometriska Funktioner - Bestäm Värdemängden.

1. Vad är värdemängden för $\cos (\theta)$?
2. med hjälp av punkt 1, vad är då värdemägnden för $\cos^2 (\theta)$?
3. Vad blir då Max/min för $1- 3\cos ^2 (\theta)$?
4. Hur kan vi nu slutligen sammanfatta värdemängden för $1- 3\cos ^2 (\theta)$?

1. Det är $-1\le y\le 1$ 

2. $0\le y\le 1$ är intervallen för värdemängden. Jag förstår dock inte varför ${\cos }^2\theta$ ser ut som den gör, vad är det som gör att den ser ut som den gör? 

Funktionen  f(x)=x^2 har ju bara positiv värdemängd: {y∈ℝ: y≥0}, så därför kommer värdemängden för cos^2(x) ligga mellan 0 och 1. Eftersom t.ex. (-1)^2 = (-1) * (-1) = 1. För alla värden på x som cos(x) är negativ så kommer detta negativa tal att multipliceras med sig själv, och således tar minustecknen ut varandra.

För en mer rigorös lösning:

Använd funktionens derivata

f(x)= 1 - 3cos^2(x)

f'(x) = 6sin(x)cos(x)

f'(x) = 0 <=> 6sin(x)cos(x) = 0 => x = 0, x = pi / 2 (eftersom den är periodisk så finns oändligt antal lösningar till f'(x) = 0, men dessa räcker) Gör sedan en teckentabell och se att x = 0 är min, och x = pi / 2 är max, stoppa sedan in dessa två i  f(x) = 1 - 3cos^2(x) för att se dess värdemängd.

Okej! Tack för förklaringen. 

3)

 $1-3{\cos }^2\left(\theta \right)$ har en förskjutning vid 1, det verkar vara att vid funktioner där cos^2x är inblandade så är förskjutningen antingen en maximipunkt eller minimipunkt. Så, 1 minus något som kan bara bli max 3 ger 1-3=-2. 

minimipunkt: -2

Eftersom förskjutningen till y:1 ger att den måste vara funktionens största värde då $3{\cos }^2\left(\theta \right)$ kan inte bli negativ på så sätt att det blir två gånger minus och ge då en sånt addition:  (1)-(-x) -> 1+x. Därför är 

maximipunkt: 1

4) Intervallet för värdemängden i f(x):$1-3{\cos }^2\left(\theta \right)$ är $-2\le y\le 1$

Tack för rådet! Ska tänka på dessa 4 steg vid liknande uppgifter!

Om man lite snabbt vill kolla värdemängden, dock är det lättare att råka göra slarvfel då. Men om vi låter värdemängden för cos^2(x) betecknas [0, 1].

Lite slarvigt kan man då skriva:

f(x) = 1 - 3cos^2(x) = 1 - 3 * [0, 1], och därifrån se vilket tal i intervallet [0, 1] ger minst resp. störst värde. Då ser man snabbt att:

1 - 3 * 0 = 1

1 - 3 * 1 = - 2

=> Värdemängden är [-2, 1]

Jaså, vad intressant, det är just en liknande metod jag letade efter. Kommer att ha kvar den i tankarna, tack!