Trippelintegral

Jag förstår inte kommentaren "[om] förändring sker i x led först så kommer inte jag gå från samma kurva till en annan hela vägen". Hur jag än försöker tolka den, så är den inte sann.

3D-figuren du ritat är dock missvisande, vilket kan ha bidragit till en viss förvirring om integrationsgränserna. Figuren verkar nämligen som om det fanns ett hörn i (1, 0, 1), vilket det inte gör.

Integrationsområdet i dubbelintegralen (din sista rad) $\displaystyle \int_0^1 \int_x^1 y {\sin(\pi y^3)}\,dy\,dx$ är den plana triangeln $0 \le x \le y \le 1$. Omkastning av integrationsordningen ger då

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^y y {\sin(\pi y^3)}\,dx\,dy = \int_0^1 y^2 {\sin(\pi y^3)}\,dx = [\frac{-\cos(\pi y^3)}{3\pi}]_0^1= \cdots$.

Om vi går tillbaka till 3D-kroppen "pyramid" som har hörn i punkterna A=(0,0,0), B=(0,1,0), C=(1,1,0), D=(1,1,1) och E=(0,1,1), så avgränsas pyramiden av följande fem plan:

• x=0 (punkter A, B, E)
• y=1 (punkter B, C, D, E)
• z=0 (punkter A, B, C)
• x=y (punkter A, C, D)
• y=z (punkter A, D, E)

När jag tittar på dessa plan, så ser jag verkligen inte att integrationsgränserna kunde vara olika i olika delar av pyramiden beroende på om man låter x variera först, eller inte.

Tillägg: 27 maj 2026 08:37

Nu kom jag på vad som antagligen var problemet med integrationsordningen:

Om du har variablerna x och z i de två yttre integralerna och y i innersta integralen, så kommer undre gränsen för y vara antingen x eller z beroende på vad som är störst. Om du dock har x eller z i innersta integralen, så är det inga problem.

Följande två integrationsordningar är alltså problematiska:

• $\displaystyle \int_0^1 (\int_0^1 (\int_{g(x,z)}^1 {\sin(\pi y^3)}\,dy)\,dx)\,dz$
  
  
• $\displaystyle \int_0^1 (\int_0^1 (\int_{g(x,z)}^1 {\sin(\pi y^3)}\,dy)\,dz)\,dx$
  
  

där undre gränsen är ${g(x,z)}={\max\{x,z\}}=\left\{ \begin{array}{cl} x & \text{då } x \ge z \\ z & \text{annars} \end{array} \right.$

Att integrera i en sådan ordning var dock ingenting du försökte göra...

Så som jag har blivit tillsagd, så blir detta problematiskt för att när jag kommer till den gröna linjen så går jag bara från linjen y=1 till en annan punkt på linjen, alltså är inte x gränserna de samma över hela området. Därför trodde jag att jag inte kunde ha dzdxdy.

Jag hade lite problem med att rita 3d figuren men nu tror jag att jag kan rita den bättre. 

Jag ska testa lösa frågan igen, tack!