Trippleintegral

Hejsan!

Jag har lite svårigheter att börja tackla följande trippelintegral:

$\int \int \int_{D} (1 + z^{2}) d x d y d z$

Där $D = {(x, y, z) : x^{2} + y^{2} \leq e^{z}, 0 \leq z \leq 1}$

Jag sitter fast på att första steget: att se om området D kan skrivas om på något mer lämpligt sätt.

jag tycker områdets begränsning liknar en cylinder med $0 \leq z \leq 1$ , men jag förstår inte helt hur $x^{2} + y^{2} \leq e^{z}$ ser ut

Vid första anblik tänkte jag mig att $x^{2} + y^{2} \leq e^{z}$ kan skrivas om som $\log (x + y) \leq z$

Vill undvika att använda polära koordinater då $z$ kommer införa komplexa termer.

Kursboken rekommenderar att använda formeln:

$\int \int \int_{D} f (x, y, z) d x d y d z = \int \int_{E} (\int_{z = α (x, y)}^{β (x, y)} f (x, y, z) d z) d x d y$

Där $D = {(x, y, z) : α (x, y) \leq z \leq β (x . y), (x, y) \in E}$

Tack på förhand!

Tycker du ska göra ett försök i cylinderkoordinater. Annars riskerar uppgiften att bli lite träig. Dessutom blir integranden ganska trevlig i cylinderkoordinater.

Vad blir gränserna för området?

Utnyttja standardintegralen $\int te^t=(t-1)e^t$ om den skulle dyka upp.

Använd partiell integration om du skulle stöta på ett uttryck av formen $e^z(1+z^2)$ för att nå "standardintegralen."

Visa dina försök om du behöver mer hjälp.

Svara