två frågor om asymptoter

En lodrät asymptot kan man hitta på det sätt du beskriver, men det är dock inte alltid rätt. En funktion kan t.ex. se ut såhär: $\frac{x^2 + x + 12}{x-3}$. Notera att täljaren kan faktoriseras som $(x+4)(x-3)$ och därav är denna funktion lika med $x+4$, som säkerligen inte har några lodräta asymptoter. Det finns även andra fall där funktionen är odefinierad p.g.a. att nämnaren är noll vid någon punkt, men som ändå inte skjuter iväg mot oändligheten när vi närmar oss den punkten.

Formellt så definieras lodräta asymptoter som följande.

En funktion $f(x)$ sägs ha en lodrät asymptot $x=a$ om minst ett av följande påståenden gäller:

1. $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty$

2. $\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm \infty$

Till exempel har funktionen $f(x) = \frac{1}{x-1}$ en lodrät asymptot $x=1$ eftersom $\lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x-1} = \infty$. Vi har även att $\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$, men det krävs alltså bara att ett av ovan påståenden gäller. I praktiken är det väldigt vanligt att båda påståendena gäller för funktioner med lodräta asymptoter.

För funktionen $\frac{2x^4 - 6x^3}{x^3 - 27}$ gäller att

$\lim_{x\to 3}\frac{2x^4 - 6x^3}{x^3 - 27} = \lim_{x\to 3}\frac{2x^3(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{2x^3}{x^2+3x+9}=\frac{2\cdot 27}{27}=2$.

Alltså har den funktionen inte en lodrät asymptot $x=3$, som du är inne på.

För att hitta en sned asymptot på formen $kx + m$ till en funktion $f(x)$ kan man använda följande metod:

1. Undersök om $\frac{f(x)}{x}\to k$ då $x\to\infty$ eller $x\to -\infty$, för något ändligt tal $k\neq 0$.

2. Om så är fallet, undersök om $f(x) - kx$ går mot något ändligt tal $m$ då $x\to \infty$ eller $x\to -\infty$.

Om båda dessa villkor är uppfyllda så är $kx + m$ en sned asymptot till $f(x)$.

Testar vi denna metod på $\frac{x^2}{3+x}$ får vi att

$\frac{x}{3+x}\to 1$ då $x\to \pm \infty$. Alltså är vårt potentiella $k$-värde $1$. Det här kan man se ganska direkt eftersom vi har en $x^2$-term i täljaren och en $x$-term i nämnaren i den ursprungliga funktionen, så för $x$-värden långt från 0 kommer funktionen bete sig ungefär som $\frac{x^2}{x} = x$.

Vidare är

$\frac{x^2}{3+x} - x =\frac{x^2-3x-x^2}{3+x} = \frac{-3x}{3+x}$, och vi ser att detta går mot $-3$ då $x\to \pm \infty$. Alltså har vi en sned asymptot $y=x-3$.

Det du missar i din första variant där du söker en sned asymptot är att du endast hittar $k$-värdet.

Gustor skrev:

En lodrät asymptot kan man hitta på det sätt du beskriver, men det är dock inte alltid rätt. En funktion kan t.ex. se ut såhär: $\frac{x^2 + x + 12}{x-3}$. Notera att täljaren kan faktoriseras som $(x+4)(x-3)$ och därav är denna funktion lika med $x+4$, som säkerligen inte har några lodräta asymptoter. Det finns även andra fall där funktionen är odefinierad p.g.a. att nämnaren är noll vid någon punkt, men som ändå inte skjuter iväg mot oändligheten när vi närmar oss den punkten.

Formellt så definieras lodräta asymptoter som följande.

En funktion $f(x)$ sägs ha en lodrät asymptot $x=a$ om minst ett av följande påståenden gäller:

1. $\lim_{x\to a^+} f(x) = \pm \infty$

2. $\lim_{x\to a^-} f(x) = \pm \infty$

Till exempel har funktionen $f(x) = \frac{1}{x-1}$ en lodrät asymptot $x=1$ eftersom $\lim_{x\to 1^+} \frac{1}{x-1} = \infty$. Vi har även att $\lim_{x\to 1^-} \frac{1}{x-1} = -\infty$, men det krävs alltså bara att ett av ovan påståenden gäller. I praktiken är det väldigt vanligt att båda påståendena gäller för funktioner med lodräta asymptoter.

För funktionen $\frac{2x^4 - 6x^3}{x^3 - 27}$ gäller att

$\lim_{x\to 3}\frac{2x^4 - 6x^3}{x^3 - 27} = \lim_{x\to 3}\frac{2x^3(x-3)}{(x-3)(x^2+3x+9)}=\lim_{x\to 3}\frac{2x^3}{x^2+3x+9}=\frac{2\cdot 27}{27}=2$.

Alltså har den funktionen inte en lodrät asymptot $x=3$, som du är inne på.

---

För att hitta en sned asymptot på formen $kx + m$ till en funktion $f(x)$ kan man använda följande metod:

1. Undersök om $\frac{f(x)}{x}\to k$ då $x\to\infty$ eller $x\to -\infty$, för något ändligt tal $k\neq 0$.

2. Om så är fallet, undersök om $f(x) - kx$ går mot något ändligt tal $m$ då $x\to \infty$ eller $x\to -\infty$.

Om båda dessa villkor är uppfyllda så är $kx + m$ en sned asymptot till $f(x)$.

Testar vi denna metod på $\frac{x^2}{3+x}$ får vi att

$\frac{x}{3+x}\to 1$ då $x\to \pm \infty$. Alltså är vårt potentiella $k$-värde $1$. Det här kan man se ganska direkt eftersom vi har en $x^2$-term i täljaren och en $x$-term i nämnaren i den ursprungliga funktionen, så för $x$-värden långt från 0 kommer funktionen bete sig ungefär som $\frac{x^2}{x} = x$.

Vidare är

$\frac{x^2}{3+x} - x =\frac{x^2-3x-x^2}{3+x} = \frac{-3x}{3+x}$, och vi ser att detta går mot $-3$ då $x\to \pm \infty$. Alltså har vi en sned asymptot $y=x-3$.

---

Det du missar i din första variant där du söker en sned asymptot är att du endast hittar $k$-värdet.

Hej! På första frågan, hur blir det så att man får olika svar beroende på om man förenklar funktionen eller inte? Om jag skriver in min funktion direkt som den är i grafritaren visas ingen asymptot, bara helt enkelt att x=3 är odefinerat. Det uppfyller att det blir odefinerat utan att vara en asymptot?

På andra frågan är jag osäker på hur du kom fram till (x^2 / (3+x)) - x? Funktionen på uppgiften var ju bara x^2 / (3 + x), kan man bara lägga till x om det behövs för att få fram k och m värden? Hur skulle man använda samma metod för att lösa den sneda asymptoten för (x^2 + 2x - 1)/x?

Hur menar du att man får olika svar?

Funktionen $f(x)=\frac{2x^4-6x^3}{x^3-27}$ är odefinierad i punkten $x=3$. Däremot är $\lim_{x\to 3} f(x) = 2$. Funktionen närmar sig värdet 2, inte $\pm \infty$, när $x$ närmar sig värdet 3. Därför har funktionen ingen lodrät asymptot $x=3$. Detta gäller oavsett hur vi skriver om funktionen.

Det som gör att vi kan förkorta med en faktor $x-3$ och förenkla uttrycket till

$f(x) = \frac{2x^3}{x^2+3x+9}$

är att vi vet att $x\neq 3$.

Som jag skrev så går metoden för att hitta sneda asymptoter, alltså linjer på formen $kx + m$ för $k\neq 0$, ut på att först bestämma ett potentiellt $k$-värde genom att beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}$. Om detta gränsvärde existerar och är lika med något nollskilt tal $k$, så kan man bestämma $m$-värdet genom att beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} f(x)-kx$.

I exemplet med funktionen $\frac{x^2}{3+x}$ fick vi $k=1$, och därför beräknar vi sedan $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) - x$ för att bestämma $m$-värdet.

Låt oss ta $f(x)=\frac{x^2 + 2x - 1}{x}$ som exempel.

Steg 1: Beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Vi får att $\frac{f(x)}{x}\to 1$ då $x\to\pm\infty$. Alltså är vårt potentiella $k$-värde $k=1$.

Steg 2: Beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) - kx$.

Vi får att $f(x) - x \to 2$ då $x\to\pm\infty$. Alltså är vårt $m$-värde $m=2$, och vi kan konstatera att funktionen $f(x)$ har en sned asymptot $kx + m = x + 2$.

Varför fungerar denna metod?

Intuitivt kan vi tänka så här. Att en funktion $f(x)$ har en sned asymptot $kx + m$, $k\neq 0$, betyder att när $x$ är ett stort positivt eller negativt tal, så beter sig funktionen ungefär som en rät linje: $f(x)\approx kx + m$.

När vi i steg 1 beräknar gränsvärdet $\frac{f(x)}{x}$, så ser vi att om $f(x)\approx kx + m$ så är

$\frac{f(x)}{x}\approx \frac{kx}{x} + \frac{m}{x} = k + \frac{m}{x}$. Har funktionen en sned asymptot borde alltså $\frac{f(x)}{x}\to k$ när $x\to\infty$ eller $x\to -\infty$.

I steg 2 när vi beräknar $f(x) - kx$ ser vi att om $f(x)\approx kx + m$ så är $f(x) - kx \approx kx + m - kx = m$. Alltså borde $f(x) - kx \to m$ då $x\to \infty$ eller $x\to -\infty$, under förutsättning att funktionen har en sned asymptot.

Existerar båda dessa gränsvärden har funktionen en sned asymptot $kx + m$.

Gustor skrev:

Låt oss ta $f(x)=\frac{x^2 + 2x - 1}{x}$ som exempel.

Steg 1: Beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} \frac{f(x)}{x}$.

Vi får att $\frac{f(x)}{x}\to 1$ då $x\to\pm\infty$. Alltså är vårt potentiella $k$-värde $k=1$.

Steg 2: Beräkna $\lim_{x\to\pm\infty} f(x) - kx$.

Vi får att $f(x) - x \to 2$ då $x\to\pm\infty$. Alltså är vårt $m$-värde $m=2$, och vi kan konstatera att funktionen $f(x)$ har en sned asymptot $kx + m = x + 2$.

---

Varför fungerar denna metod?

Intuitivt kan vi tänka så här. Att en funktion $f(x)$ har en sned asymptot $kx + m$, $k\neq 0$, betyder att när $x$ är ett stort positivt eller negativt tal, så beter sig funktionen ungefär som en rät linje: $f(x)\approx kx + m$.

När vi i steg 1 beräknar gränsvärdet $\frac{f(x)}{x}$, så ser vi att om $f(x)\approx kx + m$ så är

$\frac{f(x)}{x}\approx \frac{kx}{x} + \frac{m}{x} = k + \frac{m}{x}$. Har funktionen en sned asymptot borde alltså $\frac{f(x)}{x}\to k$ när $x\to\infty$ eller $x\to -\infty$.

I steg 2 när vi beräknar $f(x) - kx$ ser vi att om $f(x)\approx kx + m$ så är $f(x) - kx \approx kx + m - kx = m$. Alltså borde $f(x) - kx \to m$ då $x\to \infty$ eller $x\to -\infty$, under förutsättning att funktionen har en sned asymptot.

Existerar båda dessa gränsvärden har funktionen en sned asymptot $kx + m$.

Tack för svaret! Tror jag förstår ideen nu!