9 svar
65 visningar
Lisa Mårtensson är nöjd med hjälpen!
Lisa Mårtensson 602
Postad: 21 maj 2019

Två lika reella rötter

Hej!

Uppgiften jag skulle vilja ha råd kring lyder:

"För vilka värden på konstanten a har ekvationen x2+ax+a=0 två lika reella rötter?"

Jag förstår att jag kan använda pq-formeln och se när det som står under rottecknet (diskriminanten) är noll. Då har jag en dubbelrot.

Jag kan även lista ut att värdena som konstanten a kan ha är 0 eller 4, eftersom sätter jag in 0 eller fyra på platsen för a i andragradsekvationen får jag 0 under rottecknet:

x2+4x+4=0        p=4, q=4x=-42±422-4x=-2±0

Detta visar att för a = 4 har vi en dubbelrot vid x-värdet -2.

x1= -2, x2 = -2.

När a = 0 har vi en dubbelrot vid x-värdet 0.

Men hur visar jag detta på ett snyggt sätt?

Det svåra här tycker jag är att både p och q i pq-formeln har ersatts med a.

Jag vill ju kunna lösa ut a på ett snyggt sätt och hade lösningarna inte varit lika uppenbara så hade jag velat ha en bra metod för att lösa denna typ av uppgift.

Tar tacksamt emot råd!

Smaragdalena 28103 – Moderator
Postad: 21 maj 2019 Redigerad: 21 maj 2019

Använd pq-formeln direkt på x2+ax+a=0x^2+ax+a=0. Eftersom vi skall ha en dubbelrot skall diskriminanten vara lika med 0, d v s a24-a=0\frac{a^2}{4}-a=0. Denna andragradsekvation har lösningarna a=2 och a=-2. Alltså har funktionen en dubbelrot när a =2 eller a=-2.

EDIT: Fel, se nedan.

joculator 1660 – Moderator
Postad: 21 maj 2019

istället för att använda p=4 och q=4 så skall du använda p=a och q=a

diskriminanten blir då   a24-a.  För vilka a är detta lika med 0?

joculator 1660 – Moderator
Postad: 21 maj 2019 Redigerad: 21 maj 2019
Smaragdalena skrev:

Använd pq-formeln direkt på x2+ax+a=0x^2+ax+a=0. Eftersom vi skall ha en dubbelrot skall diskriminanten vara lika med 0, d v s a24-a=0\frac{a^2}{4}-a=0. Denna andragradsekvation har lösningarna a=2 och a=-2. Alltså har funktionen en dubbelrot när a =2 eller a=-2.

Nja ... a=2 och a=-2 känns inte rätt. 
a=4 och a=0

Lisa Mårtensson 602
Postad: 21 maj 2019 Redigerad: 21 maj 2019
Smaragdalena skrev:

Använd pq-formeln direkt på x2+ax+a=0x^2+ax+a=0. Eftersom vi skall ha en dubbelrot skall diskriminanten vara lika med 0, d v s a24-a=0\frac{a^2}{4}-a=0. Denna andragradsekvation har lösningarna a=2 och a=-2. Alltså har funktionen en dubbelrot när a =2 eller a=-2.

Just det, jag fick också fram att jag ska ta reda på vilka värden på a som får a24-a=0. Där kan jag ju se att 0 eller 4 i stället för a gör att HL blir 0.

Men svaret ska ju enligt facit vara att ekvationen x2+ax+a=0 har en dubbelrot när a = 0 och när a = 4 (inte när a=±2).

Farbrorgul 40
Postad: 21 maj 2019
Lisa Mårtensson skrev:

Hej!

Uppgiften jag skulle vilja ha råd kring lyder:

"För vilka värden på konstanten a har ekvationen x2+ax+a=0 två lika reella rötter?"

Jag förstår att jag kan använda pq-formeln och se när det som står under rottecknet (diskriminanten) är noll. Då har jag en dubbelrot.

Jag kan även lista ut att värdena som konstanten a kan ha är 0 eller 4, eftersom sätter jag in 0 eller fyra på platsen för a i andragradsekvationen får jag 0 under rottecknet:

x2+4x+4=0        p=4, q=4x=-42±422-4x=-2±0

Detta visar att för a = 4 har vi en dubbelrot vid x-värdet -2.

x1= -2, x2 = -2.

När a = 0 har vi en dubbelrot vid x-värdet 0.

Men hur visar jag detta på ett snyggt sätt?

Det svåra här tycker jag är att både p och q i pq-formeln har ersatts med a.

Jag vill ju kunna lösa ut a på ett snyggt sätt och hade lösningarna inte varit lika uppenbara så hade jag velat ha en bra metod för att lösa denna typ av uppgift.

Tar tacksamt emot råd!

Sätt p=a och q=a och använd pq-formeln som tidigare. Räkna ut den obekanta variabeln (a) som man gör med pq-formeln. Villkoret är att diskriminanten skall vara 0 och då kan du enkelt sätta upp en ekvation för att lösa problemet. Gjorde en snabb skiss men det blev inte jättetydligt så fråga gärna om det är något som är oklart.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 21 maj 2019 Redigerad: 21 maj 2019

Man kan lösa andragradsekvationen a24-a=0 genom att först multiplicera alla termer med 4 och sedan bryta ut a.

Då har vi att

a2-4a=0 och därefter

a(a-4)=0.

Då¨blir det tydligt att när a = 0 eller a = 4 då är HL=0.

Jag löste andragradsekvationen på det sättet som man gör när man saknar q-värde, genom att faktorisera.

Tack alla ni som hjälpte mig.

För att jag läste din lösning och halkade in på fel spår. Ekvationen a24-a=0\frac{a^2}{4}-a=0 kan skrivas om till a(a-4)=0a(a-4)=0 och då ser man direkt att lösningarna är a=0 och a=4.

Lisa Mårtensson 602
Postad: 21 maj 2019 Redigerad: 21 maj 2019
Smaragdalena skrev:

För att jag läste din lösning och halkade in på fel spår. Ekvationen a24-a=0\frac{a^2}{4}-a=0 kan skrivas om till a(a-4)=0a(a-4)=0 och då ser man direkt att lösningarna är a=0 och a=4.

Ja, Smaragdalena, jag kom på att jag hade lärt mig detta på matte 2, att lösa andragradsekvationer som saknar q-värde. Men det tog mig en stund att inse det.

Jag krånglade till det lite genom att tala om vid vilka x-värden som dubbelrötterna fanns. Det var inte det som var frågan i uppgiften.

Tack!

Albiki 4227
Postad: 21 maj 2019

Hej! Låt b vara en dubbelrot till polynomet, som då kan skrivas

    (x-b)2=x2-2bx+b2(x-b)^2=x^2-2bx+b^2.

Identifikation med det givna polynomet ger kraven a=b2a=b^2 och a=-2ba=-2b vilket ger ekvationen b2+2b=0b^2+2b=0 vars lösningar är b=0b=0 och b=-2b=-2.

Svara Avbryt
Close