3 svar
178 visningar
Albiki 3943
Postad: 8 apr 2018

Två vektorer som omöjligen kan vara ortogonala.

Påstående: Låt u u och v v vara två vektorer i ett vektorrum med inre produkt. Visa att om vektorerna är sådana att |u|>|v| |u| > |v| så är u u och u-v u-v inte ortogonala vektorer.

Här gäller det att vara uppmärksam på att olikheten är strikt.

Guggle 1417
Postad: 9 apr 2018

Vi antar ett reellt linjärt vektorrum V försett med en skalärprodukt samt att |u|>|v| |u|>|v| . Då gäller (Cauchy-Schwarz)

|<u,v>|||u||||v||<||u||2 |\!<u,v>\!|\leq |\!|u|\!||\!|v|\!|<|\!|u|\!|^2

Två vektorer u u och u-v u-v är ortogonala om <u,u-v>=0 <u, u-v>=0 . Men

<u,u-v>=||u||2-<u,v>0 <u, u-v>=|\!|u|\!|^2-<u,v>\neq0

Eftersom |<u,v>|<||u||2 |\!<u,v>\!|<|\!|u|\!|^2 enligt ovan. Vektorerna är alltså inte ortogonala.

Albiki 3943
Postad: 10 apr 2018

Hej!
Snygg lösning Guggle! Mitt eget lösningsförslag är litet mer trigonometriskt.

Anta att de två vektorerna u u och u-v u-v är ortogonala. Då är deras skalärprodukt (u,u-v) (u,u-v) lika med talet noll. Skalärprodukten kan skrivas

    (u,u-v)=|u|2-(u,v)=|u|2-|u||v|cosθ=|u|·(|u|-|v|cosθ) , \displaystyle (u,u-v)=|u|^2-(u,v) = |u|^2-|u||v|\cos \theta = |u|\cdot (|u|-|v|\cos\theta)\ ,

där θ \theta betecknar vinkeln mellan vektorerna u u och v v . Olikheten |u|>|v| |u|>|v| medför att u u kan inte vara nollvektorn (däremot kan v v vara det). Olikheten medför därför den strikta olikheten cosθ>1 \cos\theta > 1 vilken är omöjlig. Det var därför fel att anta att vektorerna u u och u-v u-v var ortogonala.

JohanB 69
Postad: 12 apr 2018

Antag att u och u-v är ortogonala. Då är -u och u-v ortogonala. Då kan vi låta dem bilda kateter i en rätvinklig triangel. Hypotenusans längd ges av normen av summan av katetvektorerna, dvs |-u+u-v|=|v|. Hypotenusan är nu strikt kortare än kateten... Motsägelse.

(om man inte gillar "vanliga" euklidiska resonemang i godtyckligt vektorrum så kan vi titta på Span(u,v) som är ett 2-dim underrum och alltså isomorft med R^2 där allt är lugnt)

Svara Avbryt
Close