Två vektorer som omöjligen kan vara ortogonala.

Vi antar ett reellt linjärt vektorrum V försett med en skalärprodukt samt att $|u|>|v|$. Då gäller (Cauchy-Schwarz)

$|\!<u,v>\!|\leq |\!|u|\!||\!|v|\!|<|\!|u|\!|^2$

Två vektorer $u$ och $u-v$ är ortogonala om $<u, u-v>=0$. Men

$<u, u-v>=|\!|u|\!|^2-<u,v>\neq0$

Eftersom $|\!<u,v>\!|<|\!|u|\!|^2$ enligt ovan. Vektorerna är alltså inte ortogonala.

Hej!
Snygg lösning Guggle! Mitt eget lösningsförslag är litet mer trigonometriskt.

Anta att de två vektorerna $u$ och $u-v$ är ortogonala. Då är deras skalärprodukt $(u,u-v)$ lika med talet noll. Skalärprodukten kan skrivas

    $\displaystyle (u,u-v)=|u|^2-(u,v) = |u|^2-|u||v|\cos \theta = |u|\cdot (|u|-|v|\cos\theta)\ ,$

där $\theta$ betecknar vinkeln mellan vektorerna $u$ och $v$. Olikheten $|u|>|v|$ medför att $u$ kan inte vara nollvektorn (däremot kan $v$ vara det). Olikheten medför därför den strikta olikheten $\cos\theta > 1$ vilken är omöjlig. Det var därför fel att anta att vektorerna $u$ och $u-v$ var ortogonala.

Antag att u och u-v är ortogonala. Då är -u och u-v ortogonala. Då kan vi låta dem bilda kateter i en rätvinklig triangel. Hypotenusans längd ges av normen av summan av katetvektorerna, dvs |-u+u-v|=|v|. Hypotenusan är nu strikt kortare än kateten... Motsägelse.

(om man inte gillar "vanliga" euklidiska resonemang i godtyckligt vektorrum så kan vi titta på Span(u,v) som är ett 2-dim underrum och alltså isomorft med R^2 där allt är lugnt)