Tyngdpunkten (xT,yT,zT) för kroppen K. (Flerdimensionell Analys)

Hej. Jag har problem gällande en uppgift i Flerdimensionell analys.

Det är uppgift 8.18 som jag har problem med.

I a-uppgiften räknade jag ut att kroppens volym är $\sqrt{2}\mathrm{\pi }$.
Jag ser när jag ritar upp kroppen att den är symmetrisk kring z-axeln.
Jag fick också i a-uppgiften ut att projiceringen på xy-planet är en ellips med halvaxlarna $\sqrt{2},1$ och centrum i origo.

Mitt lösningsförsök börjar:
${\int }_{}^{}{\int }_{}^{}{\int }_{y^2}^{2-x^2-y^2}z dxdydz$
Primitiven till z är ju: $\frac{1}{2}{z}^2$
Sätter jag in övre och undre gränsen så får jag: $\frac{1}{2}\iint \left({\left(2-x^2-y^2\right)}^2-{\left(y^2\right)}^2\right) dxdy$
Sen går byter jag koordinatsystem: $$\begin{gathered} \frac{\sqrt{2}}{2}\iint (4r-4r^3+2r^3{\cos }^2(\phi \left)\right(2r^3{\cos }^2\left(\phi \right)+2r^2{\sin }^2\left(\phi \right) drd\phi \\ \frac{\sqrt{2}}{2}\iint (4r-4r^3+4r^5{\cos }^2(\phi \left)\right) drd\phi \\ \frac{\sqrt{2}}{2}{\int }_0^{2\pi }[2r^2-r^4+\frac{2}{3}{r}^6{\cos }^2(\phi \left)\right] d\phi \end{gathered}$$

Detta får jag till: $\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{8\mathrm{\pi }}{3}\right) = \frac{4\sqrt{2}}{3}\mathrm{\pi }$

För att avsluta så ska man dela med massan/volymen (densiteten är lika med 1, så är massa och volym samma sak), från a-uppgiften har vi volymen så:
$\frac{{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}\mathrm{\pi }}{\sqrt{2}\mathrm{\pi }} = \frac{4}{3}$ men i facit står det att svaret ska vara $\frac{5}{6}$

 

Någon som vill förklara var det är jag har fel?
All hjälp uppskattas!