2 svar
96 visningar
JnGn 280
Postad: 15 jul 2018 22:29

Undergrupp

Hej, jag sitter med en fråga som jag delvis förstår men skulle behöva lite förklaring kring några delar.

Uppgiften är

Visa att Fix(f):= gG:f(g)=g är en undergrupp av G.

I svaret ser jag att man bevisar det i tre steg, dels sätter man att f(1)=1 så 1Fixf 

I nästa steg sätter man att om x,yFix(f) så är f(x)=x och f(y)=y men hur får man det av att x,yFix(f) ?

och sedan att detta ska ge fxy-1=f(x)(f(y))-1=xy-1 så xy-1Fixf

Jag är med på tredje steget men inte det andra. Sedan förstår jag inte varför man inte måste ha med identitetselementet eller inversen? 

Ryszard 203
Postad: 16 jul 2018 00:24

Hej! om x,yFix(f) så är både x och y heltal , om de inte vore heltal t.ex 1.5fix(f) så f(1.5)1.5

Om du använder det sista steget med x=y så får du ut inverse.

Eftersom f(1)=1, med det tredje steget f(x*1)=f(x)(f(1))=f(x) så följer identitetselementet

Prontera 55
Postad: 19 jul 2018 01:40 Redigerad: 19 jul 2018 01:44

Jag antar här att f är en grupphomomorfi.

Om x,yFix(f) så följer det direkt ur definitionen för Fix(f) att f(x)=x och f(y)=y.

Ett sätt att verifiera att någon delmängd HG även är en delgrupp är att kolla tre följande villkor:

1) Identitetselementet är med i H

2) HH är sluten under gruppoperationen.

3) HH är sluten under invertering. D.v.s. om xH så måste även x-1H.

En annan metod använder sig av att man istället kan kontrollera två andra villkor, som visar sig vara ekvivalenta med de tre ovan. De två saker man behöver kolla då är:

1) H, d.v.s. HH är icke-tom.

2) x,yHxy-1Hx, y \in H \Rightarrow xy^{-1} \in H.

De har väl använt den andra metoden i svaret, men det går självfallet lika bra att verifiera med den första metoden.

Bevis för att metod 2 faktiskt verifierar huruvida HH är en delgrupp: https://proofwiki.org/wiki/One-Step_Subgroup_Test

Svara Avbryt
Close