Undersök hur Z beror av värdet av a

Det komplexa talet z ges av $z\left(a\right)=\frac{a+i}{a-i}$ där a är ett reellt tal. Du ska undersöka hur z beror på värdet av a. I tabellerna nedan redovisas värdet av z för några värden på a.

1)Beräkna de z-värden som saknas i tabellerna. Rita in alla z-värden i ett och samma komplexa talplan.
 
Genom att studera tabellerna och titta på hur z-värdena ligger i det komplexa talplanet kan man förmoda att vissa påståenden för z(a) är sanna för alla reella a eller för alla reella a≠0 (jämför till exempel z(a) med z(-a).)

2)Formulera två påståenden som är sanna för alla reella a eller för alla reella a≠0, antingen i ord eller algebraiskt.
 
3)Bevisa de påståenden som du formulerat.

Hej!

För det första har jag beräknat z-värden för de a-värden som saknas i tabellerna och har ritat in dem i ett komplext talplan. Så här ser det ut:(med hjälp av Geogebra)

För den andra delen behöver jag hjälp med att konstruera ett påstående som följer med det matematiska språket. Själv har jag skrivit så här:

Påstående 1: "För alla reella a finns det ett a och ett -a , där Z(a) är ett komplext tal och Z(-a) konjugatet till Z(a)"

Påstående 2: " För alla reella a≠0 finns det ett a och ett $\frac{1}{a}$, där $Re Z\left(a\right) = -Re Z\left(\frac{1}{a}\right) och Im Z\left(a\right)=Im Z\left(\frac{1}{a}\right)$."

Vad tycker ni om formuleringarna?

Sist har jag bevisat:

Bevis för påstående 1:

$$\begin{gathered} z\left(a\right)=\frac{(a+i)(a+i)}{(a-i)(a+i)}=\frac{(a^2-1)+\left(2a\right)i}{a^2+1}=\frac{(a^2-1)}{(a^2+1)}+\frac{2a}{(a^2+1)}i \\ z(-a)=\frac{(-a+i)(-a+i)}{(-a-i)(-a+i)}=\frac{(a^2-1)-\left(2a\right)i}{a^2+1}=\frac{(a^2-1)}{(a^2+1)}-\frac{2a}{(a^2+1)}i \end{gathered}$$

Bevis för påstående 2:

$$\begin{gathered} z\left(a\right)=\frac{(a+i)(a+i)}{(a-i)(a+i)}=\frac{(a^2-1)+\left(2a\right)i}{a^2+1}=\frac{(a^2-1)}{(a^2+1)}+\frac{2a}{(a^2+1)}i \\ z\left(\frac{1}{a}\right)=\frac{(\frac{1}{a}+i)(\frac{1}{a}+i)}{(\frac{1}{a}-i)(\frac{1}{a}+i)}=\frac{(\frac{1}{a^2}-1)+\left(\frac{2}{a}\right)i}{\frac{1}{a^2}+1}=-\frac{(a^2-1)}{(a^2+1)}+\frac{2a}{(a^2+1)}i \end{gathered}$$