2 svar
35 visningar
Marx 60
Postad: 4 apr 2019

Undersök hur Z beror av värdet av a

Det komplexa talet z ges av z(a)=a+ia-i där a är ett reellt tal. Du ska undersöka hur z beror på värdet av a. I tabellerna nedan redovisas värdet av z för några värden på a.

1)Beräkna de z-värden som saknas i tabellerna. Rita in alla z-värden i ett och samma komplexa talplan.
 
Genom att studera tabellerna och titta på hur z-värdena ligger i det komplexa talplanet kan man förmoda att vissa påståenden för z(a) är sanna för alla reella a eller för alla reella a≠0 (jämför till exempel z(a) med z(-a).)

2)Formulera två påståenden som är sanna för alla reella a eller för alla reella a≠0, antingen i ord eller algebraiskt.
 
3)Bevisa de påståenden som du formulerat.


Hej!

För det första har jag beräknat z-värden för de a-värden som saknas i tabellerna och har ritat in dem i ett komplext talplan. Så här ser det ut:(med hjälp av Geogebra)

För den andra delen behöver jag hjälp med att konstruera ett påstående som följer med det matematiska språket. Själv har jag skrivit så här:

Påstående 1: "För alla reella a finns det ett a och ett -a , där Z(a) är ett komplext tal och Z(-a) konjugatet till Z(a)"

Påstående 2: " För alla reella a≠0 finns det ett a och ett 1a, där Re Z(a) = -Re Z(1a) och Im Z(a)=Im Z(1a)."

Vad tycker ni om formuleringarna?

Sist har jag bevisat:

Bevis för påstående 1:

z(a)=(a+i)(a+i)(a-i)(a+i)=(a2-1)+(2a)ia2+1=(a2-1)(a2+1)+2a(a2+1)iz(-a)=(-a+i)(-a+i)(-a-i)(-a+i)=(a2-1)-(2a)ia2+1=(a2-1)(a2+1)-2a(a2+1)i

Bevis för påstående 2:

z(a)=(a+i)(a+i)(a-i)(a+i)=(a2-1)+(2a)ia2+1=(a2-1)(a2+1)+2a(a2+1)iz(1a)=(1a+i)(1a+i)(1a-i)(1a+i)=(1a2-1)+(2a)i1a2+1=-(a2-1)(a2+1)+2a(a2+1)i

Den mest uppenbara iakttagelsen tycker jag är "alla z(a) ligger på en cirkel i det komplexa talplanet med radien 1".

Vad menar du med det här:

För alla reella a finns det ett a och ett -a

?

Menar du att

För varje värde på det reella talet a gäller det att z(-a) är konjugatet till z(a)

?

Marx 60
Postad: 4 apr 2019
Smaragdalena skrev:

Den mest uppenbara iakttagelsen tycker jag är "alla z(a) ligger på en cirkel i det komplexa talplanet med radien 1".

Vad menar du med det här:

För alla reella a finns det ett a och ett -a

?

Menar du att

För varje värde på det reella talet a gäller det att z(-a) är konjugatet till z(a)

?

Ja, så menar jag " för varje värde på det reella talet a gäller det att z(-a) är konjugatet till z(a)"

Svara Avbryt
Close