upp 2169 andragradsfunktioner

Hej.

Denna uppgift handlar om något som kallas rotekvationer.

Läs gärna mer om sådana här och fråga sedan oss om allt du vill att vi förklarar närmare.

=====

På både a- och b-uppgiften är det rätt metod att först kvadrera bägge led, fast det finns en snabbare väg för b-uppgiften, se nedan.

Det som är lite lurigt med kvadrering är att man då riskerar att introducera falska lösningar, eftersom informationen om ifall en storhet är positiv eller negativ går förlorad i det steget.

====

Ett tydligt exempel:

Säg att vi har ekvationen $x = 4$

Vi ser att $x$ är ett positivt tal.

Om vi kvadrerar bägge sidor så får vi ekvationen $x^2=16$ och vi har då förlorat informationen att x är ett positivt tal.

Ekvationen $x^2=16$ har ju de två lösningarna $x_1=4$ och $x_2=-4$

Lösningen $x_2=-4$ är vad som brukar kallas en falsk rot/falsk lösning som vi introducerade i och med kvadreringen.

Det är därför viktigt att vi kontrollerar alla lösningar när vi har genomfört en kvadrering på vägen.

====

Tillbaka till uppgiften:

Om du kvadrera bägge sidor i a-uppgiften så får du ekvationen $-x=49$, dvs $x=-49$. Vi sätter in detta i ursprungsekvationen som kontroll.

Vänsterledet blir då $\sqrt{-x}=\sqrt{-(-49)}=\sqrt{49}=7$, vilket stämmer med högerledet.

$x=-49$ är alltså en korrekt lösning.

========

För b-uppgiften får vi efter kvadrering ekvationen $-x=(-7)^2$, dvs $-x=49$, dvs $x=-49$.

Vi sätter in detta i ursprungsekvationen som kontroll.

Vänsterledet blir då $\sqrt{-x}=\sqrt{-(-49)}=\sqrt{49}=7$, vilket inte stämmer med högerledet. Detta är alltså inte en giltig lösning.

======

En snabbare väg för b-uppgiften är att konstatera att för reella tal så gäller att roten ur ett tal alltid är en icke-negativ storhet.

Vi ser då direkt att ekvationen saknar lösning eftersom den påstår att roten ur någonting ska vara ett negativt tal.