Uppg. 1246 - Gemensamma och icke-gemensamma faktorer (Godtagbar lösning?)

Lechatfaitronronne skrev:

Värdet på s måste vara gemensam faktor till både 273 och 231, ty "sidan är ett helt antal centimeter".

231 = 11 * 7 * 3 * 1

273 = 13 * 7 * 3 * 1 

Hit håller jag med.  Du skriver att s måste vara en gemensam faktor till både 231 och 273.

7, 3 och 1 är gemensamma faktorer till de bägge talen. D.v.s. de möjliga värdena på s är 7, 3 och 1. (Försök dela upp rektangeln med kvadrater med sidan 11 eller 13. Det går inte. )

Kommer du vidare då?

Peter skrev:

Lechatfaitronronne skrev:

Värdet på s måste vara gemensam faktor till både 273 och 231, ty "sidan är ett helt antal centimeter".

231 = 11 * 7 * 3 * 1

273 = 13 * 7 * 3 * 1 

Hit håller jag med.  Du skriver att s måste vara en gemensam faktor till både 231 och 273.

7, 3 och 1 är gemensamma faktorer till de bägge talen. D.v.s. de möjliga värdena på s är 7, 3 och 1. (Försök dela upp rektangeln med kvadrater med sidan 11 eller 13. Det går inte. )

Kommer du vidare då?

Jo det förstår jag. Om x=11 och y=13 är rektangeln indelad i minst antal möjliga kvadrater. Flest antal kvadrater blir det om s är 1 cm. Att den stora rektangeln kan delas in i olika stora kvadrater i olika antal är jag helt med på fast jag ser inte hur det hjälper mig. (Om det var det du syftade på?)

Jo det förstår jag. Om x=11 och y=13 är rektangeln indelad i minst antal möjliga kvadrater.

Nej, så är det inte. Jag skrev lite slarvigt. Testa x=11. Då blir s=.... Men med ett sådant s kan du inte dela in rektangeln eftersom 11 inte är en faktor i 273. Det blir ingen jämn kvadrat på den ledden. 11 är alltså ingen lösning. Inte 13 heller. 

.

Peter skrev:

Jo det förstår jag. Om x=11 och y=13 är rektangeln indelad i minst antal möjliga kvadrater.

Nej, så är det inte. Jag skrev lite slarvigt. Testa x=11. Då blir s=.... Men med ett sådant s kan du inte dela in rektangeln eftersom 11 inte är en faktor i 273. Det blir ingen jämn kvadrat på den ledden. 11 är alltså ingen lösning. Inte 13 heller. 

"x - antal kvadrater på bredden. y - antal kvadrater på höjden. s - längden på kvadraten"

Precis, så vad blir s om x=11? Och kan du dela in rektangeln med sådana kvadrater?

Prova att rita om du inte hänger med. 

Peter skrev:

Precis, så vad blir s om x=11? Och kan du dela in rektangeln med sådana kvadrater?

Prova att rita om du inte hänger med. 

s=21 cm tänker jag

Edit: Jag insåg precis att jag glömde att nämna att n står för antalet kvadrater i hela rektangeln. 

Aha, då fattar jag. Man råkar få ett s som faktiskt är en faktor i andra sidan (273-sidan). Ja, det var ju lurigt. Det betyder att x=11 faktiskt är en lösning trots att jag sa ar det inte var det. Ledsen för det!

Så hur många s funkar nu då? Du har (förmodligen) insett att 1, 3 och 7 är möjliga kvadratsidor. Nu har du övertygat t.o.m. mig om att 21 (med x=11) också är en möjlig kvadratsida. Finns det fler?

Peter skrev:

Aha, då fattar jag. Man råkar få ett s som faktiskt är en faktor i andra sidan (273-sidan). Ja, det var ju lurigt. Det betyder att x=11 faktiskt är en lösning trots att jag sa ar det inte var det. Ledsen för det!

Så hur många s funkar nu då? Du har (förmodligen) insett att 1, 3 och 7 är möjliga kvadratsidor. Nu har du övertygat t.o.m. mig om att 21 (med x=11) också är en möjlig kvadratsida. Finns det fler?

I det här fallet 11*13 = 143 kvadrater. Annars kan s antaga följande värden: 3 (n=7007), 1 (n=63063) och 7 (n=1287). Antalet primtalsfaktorer i s och x eller y är alltid sammanlagt 3 (då 1 inte räknas). Däremot går det att kombinera (lämpligt ordval?) dem lite - x och y kan ha en vardera så att x=11 och y=13, två vardera så att x antingen blir 11 * 7 eller 11*3 och motsvarande för y. Tre vardera vilket medför att s=1 då x och y är sammansatta av tre primtalsfaktorer. Det är här jag har fastnat för jag jag vet inte hur jag skall förklara hur jag har kommit fram till dessa.

Jag hänger inte helt med på det sista du skriver.

Kvadratens sida s måste vara en gemensam faktor för 231 och 273. När du primtalsuppdelar ser du direkt tre gemensamma faktorer (7, 3, 1). Alla produkter av dessa är också en gemensam faktor och då tillkommer bara 21. Det finns inte fler. 

Den här extra ettan ni har med i 7*3*1 kanske bara förvirrar. I alla fall behövs den inte.

Största gemensamma delaren till 231 och 273 är 21, som har primtalsfaktoriseringen 3*7. Alla tal som delar 21 delar också både 231 och 273, så det är dessa tal vi är ute efter. Ett sådant tal kan skrivas 3^a * 7^b, där a och b var för sig kan vara antingen 0 eller 1. Det ger 2*2 = 4 möjligheter.

Om största gemensamma delaren hade varit 3*3*7 så hade a kunnat vara 2, och då får vi 3*2 möjligheter.

Peter skrev:

Jag hänger inte helt med på det sista du skriver.

Kvadratens sida s måste vara en gemensam faktor för 231 och 273. När du primtalsuppdelar ser du direkt tre gemensamma faktorer (7, 3, 1). Alla produkter av dessa är också en gemensam faktor och då tillkommer bara 21. Det finns inte fler. 

Det jag menar är att rektangeln kan ha 11 x 13 (s=21 cm), 33 x 39 (s=7), 77 x 91 (s=3) samt 231 x 273 (s=1) antal kvadrater. Jag vet inte vad du vill säga med att det inte finns fler.