Uppg 18 pp 3 ht2016

För den som arbetat lite med gränsvärden och oändliga summor är det känt att $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$ ända till oändligheten är lika med två. Alla summor på samma form men som inte pågår i all oändlighet är därför mindre än två. 2*x, där x < 2, är mindre än fyra. 

För den som inte direkt ser detta, kan du förlänga summan med 64:

$$\begin{gathered} \frac{64\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+{\displaystyle \frac{1}{32}}+{\displaystyle \frac{1}{64}}\right)}{64}= \\ \frac{64+32+16+8+4+2}{64}=\frac{126}{64} \end{gathered}$$

Frågan är nu om 126/64 är större eller mindre än 2. 64 + 64 = 120 + 8 = 128. 126/64 är mindre än 2, alltså är II större än I.

Jag tror att det snabbaste är att undersöka om

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$.

och detta är ju lika med 

$\frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.

Det finns ju en formel för geometrisk summa, men det är nog långsammare, och man måste komma ihåg den.

Smutstvätt skrev :

För den som arbetat lite med gränsvärden och oändliga summor är det känt att $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+...$ ända till oändligheten är lika med två. Alla summor på samma form men som inte pågår i all oändlighet är därför mindre än två. 2*x, där x < 2, är mindre än fyra. 

För den som inte direkt ser detta, kan du förlänga summan med 64:

$$\begin{gathered} \frac{64\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+{\displaystyle \frac{1}{32}}+{\displaystyle \frac{1}{64}}\right)}{64}= \\ \frac{64+32+16+8+4+2}{64}=\frac{126}{64} \end{gathered}$$

Frågan är nu om 126/64 är större eller mindre än 2. 64 + 64 = 120 + 8 = 128. 126/64 är mindre än 2, alltså är II större än I.

Det tog mig längre än 1 minut att svara på frågan, och jag hade fel. Fan!

Såhär gjorde jag:

$\left(\frac{128}{64}+\frac{64}{64}+\frac{32}{64}+\frac{16}{64}+\frac{8}{64}+\frac{4}{64}+\frac{2}{64}\right)=\frac{254}{64 }= 4$

Edit: Nej, det är det inte.. 3 och 62/64 i rest.. 

pi-streck=en-halv skrev :

Jag tror att det snabbaste är att undersöka om

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64} < 1$.

och detta är ju lika med 

$\frac{32}{64} + \frac{16}{64} + \frac{8}{64} + \frac{4}{64} + \frac{2}{64} + \frac{1}{64} = \frac{63}{64}$.

Helt riktigt.

Det finns ju en formel för geometrisk summa, men det är nog långsammare, och man måste komma ihåg den.

Hur ser formeln ut med avseende på uppgiften? Kan dyka upp såna geometriska talföljder, din metod var dessutom ganska bra som du skrev ovanför genom att ta reda på om 2 multipliceras med faktorn 2 eller 2>

Formel för: Geometrisk summa

$s_n = a \sum_{i=0}^{n-1} k^i = a + ak + ak^2 + ... + ak^{n-1} = \frac{a(k^n-1)}{k-1}$

Summan består av $n$ termer, och den högsta exponenten är $n-1$

I detta fall är $a = 1$, $k=\frac{1}{2}$, och $n = 7$,

så $s_7 = \frac{(1/2)^7-1}{1/2-1} = \frac{127/128}{1/2} = \frac{127}{64} = 1\frac{63}{64}<2$.

Men, som Smutstvätt säger, så kan du se att denna summa alltid är mindre än 2.

För om $n \to \infty$ har vi att

$\lim_{n \to \infty} \frac{(1/2)^n -1}{1/2-1} = \frac{(1/2)^{\infty}-1}{-1/2} = \frac{0-1}{-1/2} = 2$

Man får inte sätta in "oändligheten" sådär, men ville bara göra det väldigt tydligt, att den termen går mot 0, då exponenten går mot oändligheten.