Uppgift 20
Hej
jag följde ett tidigare tråd gällande denna uppgift men förstår ej riktigt hur man ska hitta ett snabbt svar utan att göra så mycket beräkningar när man bara har några min per uppgift på provet. Kan man testa med godtyckliga tal på a, b och c och se vad det ger för varje rätt alternativ dvs om Högerledet och vänsterledet blir lika ?
Som du kanske såg var jag en av de personer som svarade i den tråden. Att testa några kända värden för att se om det finns några alternativ man kan utesluta kan fungera. Det jag undrar över är vilka "godtyckliga tal" du på rak arm tycker att du kan stoppa in och kontrollera om VL=HL? Det vill ju till att värdena trots allt beskriver en verklig triangel.
Bedinsis skrev:Som du kanske såg var jag en av de personer som svarade i den tråden. Att testa några kända värden för att se om det finns några alternativ man kan utesluta kan fungera. Det jag undrar över är vilka "godtyckliga tal" du på rak arm tycker att du kan stoppa in och kontrollera om VL=HL? Det vill ju till att värdena trots allt beskriver en verklig triangel.
Jag tänkte att a ska vara 1 , b ska vara 2 och c = 3 . L kan vara 4. Jag tänkte mer på 123 ,345 triangel.
Tex testade jag med 2 3 4 och fick fram att a) är större än de andra alternativen.
destiny99 skrev:
Jag tänkte att a ska vara 1 , b ska vara 2 och c = 3 . L kan vara 4. Jag tänkte mer på 123 ,345 triangel.
Visst går det att göra så.
Men som Bedinsis skrev, det måste kunna vara en riktig triangel. Det går inte att få till en triangel med sidlängderna 1, 2 och 3. Och l måste vara mindre än både a och b (refererar till din andra tråd).
Du kan alltså inte bara ta vilka a, b, c och l som helst.
Du kan välja a, b och c ganska fritt, bara du tar hänsyn till den s k. triangelolikheten.
Men då måste du hitta på ett sätt att bestämma ett l som stämmer för just den triangeln.
Och om du lyckas göra det så har du ju kommit på ett sätt att beräkna l. Det som tog så lång tid.
Yngve skrev:destiny99 skrev:Jag tänkte att a ska vara 1 , b ska vara 2 och c = 3 . L kan vara 4. Jag tänkte mer på 123 ,345 triangel.
Visst går det att göra så.
Men som Bedinsis skrev, det måste kunna vara en riktig triangel. Det går inte att få till en triangel med sidlängderna 1, 2 och 3. Och l måste vara mindre än både a och b (refererar till din andra tråd).
Du kan alltså inte bara ta vilka a, b, c och l som helst.
Du kan välja a, b och c ganska fritt, bara du tar hänsyn till den s k. triangelolikheten.
Men då måste du hitta på ett sätt att bestämma ett l som stämmer för just den triangeln.
Och om du lyckas göra det så har du ju kommit på ett sätt att beräkna l. Det som tog så lång tid.
Triangelolikhet har jag hört om men vet ej riktigt vad det innebär i den här uppgiften. Sen förstår jag ej varför l är mindre än a och b som du nämner och hur jag ska ta hänsyn till L. Jag tog bara a = 2 b=3 och c=4 och försökte bestämma L i varje alternativ och sedan jämföra vilka L är den största av alla efter beräkningar så då verkade det som att a) stämmer. Notera att L var ej konstant i de olika alternativen,men jag märkte snabbt att mitt val av a b och c ej kunde vara tex 1 2 3 för det gav mig 0 i täljaren vilket ej utgör en triangel isåfall.
Yngve skrev:destiny99 skrev:Jag tänkte att a ska vara 1 , b ska vara 2 och c = 3 . L kan vara 4. Jag tänkte mer på 123 ,345 triangel.
Visst går det att göra så.
Men som Bedinsis skrev, det måste kunna vara en riktig triangel. Det går inte att få till en triangel med sidlängderna 1, 2 och 3. Och l måste vara mindre än både a och b (refererar till din andra tråd).
Du kan alltså inte bara ta vilka a, b, c och l som helst.
Du kan välja a, b och c ganska fritt, bara du tar hänsyn till den s k. triangelolikheten.
Men då måste du hitta på ett sätt att bestämma ett l som stämmer för just den triangeln.
Och om du lyckas göra det så har du ju kommit på ett sätt att beräkna l. Det som tog så lång tid.
Men hur kan jag se ur en lång väg att a är rätt alternativ. Det är ju många steg dit... jag är med på omskrivning och sånt och sen cossatsen 2 ggr. Jag menar att man gör verkligen långa förenklingar innan man ser vilken alternativ som är rätt..
destiny99 skrev:
Sen förstår jag ej varför l är mindre än a och b som du nämner och hur jag ska ta hänsyn till L.
Jag skrev fel. Bisektrisen l kan vara längre än a eller längre än b, men den kan inte vara längre än både a och b.
Jag tog bara a = 2 b=3 och c=4 och försökte bestämma L i varje alternativ och sedan jämföra vilka L är den största av alla efter beräkningar så då verkade det som att a) stämmer.
OK, men varför sökte du efter det största värdet på l?
destiny99 skrev:
Men hur kan jag se ur en lång väg att a är rätt alternativ. Det är ju många steg dit... jag är med på omskrivning och sånt och sen cossatsen 2 ggr. Jag menar att man gör verkligen långa förenklingar innan man ser vilken alternativ som är rätt..
Jag förstår inte riktigt din fråga. Undrar du om det finns ett enkelt sätt att räkna fram korrekt uttryck för l?
Yngve skrev:destiny99 skrev:Men hur kan jag se ur en lång väg att a är rätt alternativ. Det är ju många steg dit... jag är med på omskrivning och sånt och sen cossatsen 2 ggr. Jag menar att man gör verkligen långa förenklingar innan man ser vilken alternativ som är rätt..
Jag förstår inte riktigt din fråga. Undrar du om det finns ett enkelt sätt att räkna fram korrekt uttryck för l?
Precis. När jag drog en bisektris linje från vinkel C till mitten av ena sidan av triangel tänkte jag att halva sidorna är lika långa,men så är ej fallet. Halv sidorna är olika långa dvs x och y men summan av dem blir lilla c då.
Jag tror inte att det finns något enkelt sätt att bestämma ett uttryck för l.
Yngve skrev:Jag tror inte att det finns något enkelt sätt att bestämma ett uttryck för l.
Ok
Man kan uttrycka (DF)2 på två sätt med Pythagoras sats på trianglarna där DF är katet.
I den andra tråden gav bisektrissatsen att
AD = bc/(a+b)
BD = ac/(a+b)
Detta och att höjderna är lika långa kan användas för en liknande ekvation med trianglarna ADE och DBF.
x löses ut ur den och sätts in i den första ekvationen. Det ger (a).
Absolut inte vad som avsågs med uppgiften och kanske inte ett enkelt sätt, men inte heller oöverstigligt om man har mer än några minuter på sig. Och tycker att den uppgiften är intressant. Kanske finns det något lite enklare sätt.
Louis skrev:
Man kan uttrycka (DF)2 på två sätt med Pythagoras sats på trianglarna där DF är katet.
I den andra tråden gav bisektrissatsen att
AD = bc/(a+b)
BD = ac/(a+b)
Detta och att höjderna är lika långa kan användas för en liknande ekvation med trianglarna ADE och DBF.
x löses ut ur den och sätts in i den första ekvationen. Det ger (a).Absolut inte vad som avsågs med uppgiften och kanske inte ett enkelt sätt, men inte heller oöverstigligt om man har mer än några minuter på sig. Och tycker att den uppgiften är intressant. Kanske finns det något lite enklare sätt.
Hm det här verkar vara en bra sätt.men jag är ej med på hur jag ska få ut l när du skriver flera ekvationer . Men som jag ser nu så kan vi uttrycka l^2 som x^2+DF^2 . Hur går vi vidare sen då?
Eftersom frågan var uppe ville jag bara grovt beskriva hur jag gjorde.
Den första ekvationen är (ac/(a+b))2 - (a-x)2 = l2 - x2
Den andra (med trianglarna ADE och DBF) innehåller inte l och ur den löser jag ut x.
Först ser det ganska otrevligt ut, men mycket kan förenklas. Jag använde även konjugatregeln.
Louis skrev:Eftersom frågan var uppe ville jag bara grovt beskriva hur jag gjorde.
Den första ekvationen är (ac/(a+b))2 - (a-x)2 = l2 - x2
Den andra (med trianglarna ADE och DBF) innehåller inte l och ur den löser jag ut x.
Först ser det ganska otrevligt ut, men mycket kan förenklas. Jag använde även konjugatregeln.
Sorry men jag hänger ej med på ekvationen. Jag är med Pythagoras endast justnu. Bisektrissatsen har jag ej infört och jag vet ej hur du kom fram till det. Jag är ej hemma med bisektrissatsen och det faller i glömska
Känner du till cosinussatsen. Jag ser nu att det blir aningen (inte mycket) enklare att använda den.
Om man nu vill räkna sig fram till l.
Louis skrev:Känner du till cosinussatsen. Jag ser nu att det blir aningen (inte mycket) enklare att använda den.
Om man nu vill räkna sig fram till l.
Cosinussatsen känner jag till. Men vi vet ej vad DF eller DE är justnu och ej heller fått ett uttryck för x ? Nej det blir ej enkelt fråga håller med...
Med cosinussatsen använder vi inte höjderna. Däremot uttrycken för AD och BD i #13.
Som alltså ges av bisektrissatsen som säger att AD/BD = b/a som får kombineras med AD+BD = c.
Louis skrev:Med cosinussatsen använder vi inte höjderna. Däremot uttrycken för AD och BD i #13.
Som alltså ges av bisektrissatsen som säger att AD/BD = b/a som får kombineras med AD+BD = c.
Hm okej cosinussatsen säger c^2=a^2+b^2-2abcosC
Så jag förstår det som att vi ska ha (a+b)^2= a^2+b^2-2abcosC. Men hl o vl tar ut varandra vilket blir knepigt. Sen har vi missat att ta hänsyn till lc som vi hade uttryck förut
Triangeln är inte rätvinklig så c2 är inte lika med a2+b2.
Jag använde cosinussatsen på bägge deltrianglarna.
(bc/(a+b))2 = b2 + L2 - 2bL*cos(v) för vänstra, där v är halva vinkeln ACB.
((bc/(a+b))2 - b2 - L2)/b = - 2L*cos(v)
Liknande ekvation för högra triangeln.
Eftersom högerleden är lika kan vi göra en ny ekvation av vänsterleden.
Louis skrev:Triangeln är inte rätvinklig så c2 är inte lika med a2+b2.
Jag använde cosinussatsen på bägge deltrianglarna.
(bc/(a+b))2 = b2 + L2 - 2bL*cos(v) för vänstra, där v är halva vinkel ACB.((bc/(a+b))2 - b2 - L2)/b = - 2L*cos(v)
Liknande ekvation för högra triangeln.
Eftersom högerleden är lika kan vi göra en ny ekvation av vänsterleden.
Var fick du högerledet ifrån? Samt vänsterledet. När du säger halva vinkel för C menar du den triangeln som är ACD respektive DCB?
v är vinkeln i deltrianglarna eller halva vinkeln ACB.
Ekvationen (första raden) är cosinussatsen tillämpad på triangel ADC där AD alltså är lika med bc/(a+b).
På raden under har jag stuvat om den så att jag får - 2L*cos(v) i högerledet.
Det gör jag för att jag får samma högerled när jag ställer upp (och sedan stuvar om) motsvarande ekvation för triangel DBC.
Louis skrev:v är vinkeln i deltrianglarna eller halva vinkeln ACB.
Ekvationen (första raden) är cosinussatsen tillämpad på triangel ADC där AD alltså är lika med bc/(a+b).
På raden under har jag stuvat om den så att jag får - 2L*cos(v) i högerledet.
Det gör jag för att jag får samma högerled när jag ställer upp (och sedan stuvar om) motsvarande ekvation för triangel DBC.
Menar du såhär ?
Kanske en dum fråga,men hur fick du denna bisektrissatsen ekvationen..Det steget är jag fortfarande ej med på.
#24: Nej, v där du skrivit v/2.
DE och DF var höjder som jag använde mig av i den första lösningsmodellen.
De används inte i den andra modellen med cosinussatsen.
#25
Bisektrissatsen ger AD/BD = b/a; a*AD = b*BD.
Dessutom gäller att AD+BD = c; BD = c - AD.
a*AD = b(c-AD) som om du löser ut AD ger AD = bc/(a+b).
På samma sätt får man att BD =ac(a+b).
Louis skrev:#24: Nej, v där du skrivit v/2.
DE och DF var höjder som jag använde mig av i den första lösningsmodellen.
De används inte i den andra modellen med cosinussatsen.#25
Bisektrissatsen ger AD/BD = b/a; a*AD = b*BD.
Dessutom gäller att AD+BD = c; BD = c - AD.
a*AD = b(c-AD) som om du löser ut AD ger AD = bc/(a+b).På samma sätt får man att BD =ac(a+b).
Förlåt men varför är det vinkel v och ej halva vinkel? Jag förstår att vinkel C är hela vinkel men jag tänkte eftersom man drar en linje från vinkel C mitt itu så blir det halva vinkel eller så är det fel att tänka så i denna uppgift då vi ej vet om vinklarna är lika stora..
Man kan kalla vinklarna vad man vill, så länge man kallar de båda vinkelhalvorna lika.
Jag hade kunnat kalla hela vinkeln för v och skrivit v/2 i ekvationerna.
Det spelar ingen roll, för räknandet med två ekvationer går ut på att eliminera cos-delen och med den vinklarna.
Louis skrev:Man kan kalla vinklarna vad man vill, så länge man kallar de båda vinkelhalvorna lika.
Jag hade kunnat kalla hela vinkeln för v och skrivit v/2 i ekvationerna.
Det spelar ingen roll, för räknandet med två ekvationer går ut på att eliminera cos-delen och med den vinklarna.
Aa men jag vet ej varför du kallar för v/2 för då tror man att det är halva vinkel liksom vilket jag misstänker du menar men kallar det för v bara. Tänker på deltrianglarna ACD och DCB som tillsammans ger vinkeln v när man adderar halva vinklarna
I uppgiften kallas vinkeln bara för C. Vi behöver inte kalla den för något speciellt eftersom hela vinkeln inte förekommer i räkningarna. Jag ställde upp två ekvationer, en för vardera triangeln och kunde kalla deras vinkel vid C för vad som helst, så länge jag kallar dem lika. Eftersom de är lika stora. Jag använde v i stället för v/2 för det var lite enklare att skriva. När ekvationerna slås ihop försvinner vinklarna ur räkningen.
Man måste förstås vara tydlig med vad ens beteckningar avser. Jag skrev "där v är halva vinkeln ACB".
En figur är ännu bättre.
Louis skrev:I uppgiften kallas vinkeln bara för C. Vi behöver inte kalla den för något speciellt eftersom hela vinkeln inte förekommer i räkningarna. Jag ställde upp två ekvationer, en för vardera triangeln och kunde kalla deras vinkel vid C för vad som helst, så länge jag kallar dem lika. Eftersom de är lika stora. Jag använde v i stället för v/2 för det var lite enklare att skriva. När ekvationerna slås ihop försvinner vinklarna ur räkningen.
Ah okej
Så summan av kardemumman uppgiften är en kombination av bisektrissatsen och cosinussatsen right?
Louis skrev:I uppgiften kallas vinkeln bara för C. Vi behöver inte kalla den för något speciellt eftersom hela vinkeln inte förekommer i räkningarna. Jag ställde upp två ekvationer, en för vardera triangeln och kunde kalla deras vinkel vid C för vad som helst, så länge jag kallar dem lika. Eftersom de är lika stora. Jag använde v i stället för v/2 för det var lite enklare att skriva. När ekvationerna slås ihop försvinner vinklarna ur räkningen.
Man måste förstås vara tydlig med vad ens beteckningar avser. Jag skrev "där v är halva vinkeln ACB".
En figur är ännu bättre.
Aa precis din figur verkar lämplig för uppgiften. Men vad bra då ,då får jag träna på bisektrissatsen isåfall och hur jag kan kombinera den med cosinussatsen. Tack!!
