34 svar
180 visningar
Euleroid är nöjd med hjälpen!
Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019 Redigerad: 22 apr 2019

Uppgift 22 på KTH/Chalmers matematik och fysikprov 2015, mattedel

Ange det största heltal a sådant att ekvationen 3x^2 + x + a^2 − 7 = 0 har minst en reell lösning.

Skulle någon kunna visa mig hela uträckningen på denna ekvation?

Smaragdalena Online 25519 – Moderator
Postad: 22 apr 2019 Redigerad: 22 apr 2019

Välkommen till Pluggakuten!

Flyttade tråden från Kluringar till Ma4, som är den matematik-nivå man beräknas behärska om man söker till teknisk högskola. I själva verket räcker det gott med Ma2 för den här uppgiften.

Hur har du tänkt själv? Det står i Pluggakutens regler att du skall visa hur du har försökt och hur långt du har kommit.  /moderator

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Euleroid skrev:

Ange det största heltal a sådant att ekvationen 3x^2 + x + a^2 − 7 = 0 har minst en reell lösning.

Skulle någon kunna visa mig hela uträckningen på denna ekvation?

Kommer inte längre än detta i denna uträckning

Laguna 4701
Postad: 22 apr 2019 Redigerad: 22 apr 2019

2ax+7 står det inte i uttrycket som du hade i början.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Laguna skrev:

2ax+7 står det inte i uttrycket som du hade i början.

Oj hoppsan.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Euleroid skrev:
Euleroid skrev:

Ange det största heltal a sådant att ekvationen 3x^2 + x + a^2 − 7 = 0 har minst en reell lösning.

Skulle någon kunna visa mig hela uträckningen på denna ekvation?

Kommer inte längre än detta i denna uträckning

Laguna 4701
Postad: 22 apr 2019

Du ska inte ha med x under rottecknet.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Laguna skrev:

Du ska inte ha med x under rottecknet.

För vilka värden på a är uttrycket under rottecknet icke-negativt? D v s för vilka värden på a finns det reella rötter?

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Smaragdalena skrev:

För vilka värden på a är uttrycket under rottecknet icke-negativt? D v s för vilka värden på a finns det reella rötter?

Är det då a = sqrt(7)

Det finns många olika värden på a som ger reella rötter, inte bara ett värde.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Smaragdalena skrev:

Det finns många olika värden på a som ger reella rötter, inte bara ett värde.

Hur kan man begränsa det till att specifikt söka det största a-värdet?

Förlåt, jag mindes frågan fel. De frågade bara efter ett största heltal a, inte alla värden på a som min minnesbild var.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
Smaragdalena skrev:

Förlåt, jag mindes frågan fel. De frågade bara efter ett största heltal a, inte alla värden på a som min minnesbild var.

Det stämmer

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019

Kommer inget vidare med denna uppgift, skulle någon kunna ge mig fler tips.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019

Svaret ska bli två. Eftersom man söker efter ett heltalsvärde, tänker jag rätt?

AlvinB 2899
Postad: 22 apr 2019

Det går väldigt fort där på slutet.

Hur kan du få

85-12a236=0\dfrac{85-12a^2}{36}=0

till

85-3612=a\sqrt{\dfrac{85-36}{12}}=a

Det är tyvärr fel.

(Dock avrundas det riktiga aa-värdet också nedåt till två, men det är en ren tillfällighet att du fått rätt svar)

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019

85 - 12a2  = 36, 85 - 36 = 12a=> a = sqrt((85 - 36)/12))

AlvinB 2899
Postad: 22 apr 2019

Det stämmer inte.

Om du multiplicerar båda led med 3636 får du ju:

85-12a236·36=0·36\dfrac{85-12a^2}{36}\cdot36=0\cdot36

85-12a2=085-12a^2=0

Du verkar ha räknat som om det stod 11 istället för 00 i högerled.

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019
AlvinB skrev:

Det stämmer inte.

Om du multiplicerar båda led med 3636 får du ju:

85-12a236·36=0·36\dfrac{85-12a^2}{36}\cdot36=0\cdot36

85-12a2=085-12a^2=0

Du verkar ha räknat som om det stod 11 istället för 00 i högerled.

Det stämmer

Egocarpo 530
Postad: 22 apr 2019 Redigerad: 22 apr 2019

Vet du hur andragradare med positiv koefficient på x^2-termen ser ut på en plot? För då hade du sett att a dyker upp som en konstant, den flytta parabeln uppåt eller nedåt när du ändrar värden på a. 


Eftersom du vill ha minst en reell lösning så är detta när du stoppar in ett a-värde så att parabeln får en dubbelrot på x-axeln. D.v.s när du gör pq-formeln eller kvadrat kompliterar så ska roten ur uttrycket vara lika med noll. Sedan avrundar det talet neråt till närmsta heltal under.


Jag skulle börja med att rita upp kurvan 3x2+x-7=0, d v s att a = 0 och undersöka vilket y-värde jag har i minimipunkten (jag vet ju att det är en minimipunkte eftersom koefficienten för x2-termen är positiv).Man behöver inte ens lösa hela PQ-formeln för att få fram vilket som är x-värdet för minimipunkten. Sedan borde det gå snabbt att undersöka vilken kvadrat som är den största som inte gör att minimivärdet blir positivt.

När du använder pq-formeln är det det som står under rottecknet (det har något fint namn som undgår mig just nu) som bestämmer om du har två reella rötter, en reell (dubbel) rot eller komplexa rötter. Det vill säga om:(p2)2-q = 0 en dubbelrot(p2)2-q > 0 två reella rötter(p2)2-q < 0 två komplexa rötter

Så du hamnar i att om 85-12a20 har denna minst en reell lösning.

Albiki 3775
Postad: 22 apr 2019

Hej!

Med kvadratkomplettering kan ekvationen skrivas

    (6x+1)2+12a2-85=0.(6x+1)^2+12a^2-85=0.

Kvadraten (6x+1)2(6x+1)^2 är aldrig negativ så man ser direkt följande:

  • Om 12a2-85>012a^2-85>0 saknas reella lösningar.
  • Om 12a2-85=012a^2-85=0 har ekvationen en enda reell lösning x=-1/6x=-1/6.
  • Om 12a2-85<012a^2-85<0 har ekvationen två olika reella lösningar.
Albiki 3775
Postad: 22 apr 2019 Redigerad: 22 apr 2019

Själva uppgiften handlar nu om att finna det största heltal aa sådant att

    12a2-85012a^2-85\leq0.

Albiki 3775
Postad: 22 apr 2019

Notera att 85=12·7+185=12\cdot 7+1 så olikheten kan skrivas 12(a2-7)-1012(a^2-7)-1\leq0. Finns det några heltal som uppfyller denna olikhet?

Euleroid 82
Postad: 22 apr 2019

Får olikheten till att bli a = sqrt(85/12)

AndersW skrev:

När du använder pq-formeln är det det som står under rottecknet (det har något fint namn som undgår mig just nu) ...

Det heter diskriminant.

Laguna 4701
Postad: 22 apr 2019
Euleroid skrev:

Får olikheten till att bli a = sqrt(85/12)

Nej, det är en lösning till likheten. Vilket är nu det största heltal som uppfyller olikheten?

Euleroid 82
Postad: 23 apr 2019

Blir lösningen till olikheten a större eller lika med sqrt(85/12)? Om det är så borde detta innebära att det största heltal som uppfyller detta är 2.

Laguna 4701
Postad: 24 apr 2019
Euleroid skrev:

Blir lösningen till olikheten a större eller lika med sqrt(85/12)? Om det är så borde detta innebära att det största heltal som uppfyller detta är 2.

Ja.

tomast80 2283
Postad: 24 apr 2019 Redigerad: 24 apr 2019

Jag skulle sökt minimum:

b=minx(3x2+x-7)b=\min_x (3x^2+x-7)

Sedan söks aa sådant att:

a2=-ba^2=-b

och avrundning sker nedåt av lösningen till närmsta heltal (a>0a>0).

Euleroid 82
Postad: 24 apr 2019

Tack för hjälpen laguna :). Bra idé tomast80.

Albiki 3775
Postad: 24 apr 2019

Olikheten 12(a2-7)112(a^2-7)\leq 1 är samma sak som olikheten a27+1/12.a^2\leq 7+1/12.  Det finns fem heltal som uppfyller denna olikhet: a{-2,-1,0,1,2}.a\in\{-2, -1, 0, 1, 2\}.  Det största av dessa är uppenbarligen 22 som därför är svaret på den ställda frågan.

Svara Avbryt
Close