Uppgift 61

Arean under grafen i ett v/t-diagram anger tillryggalagd sträcka, dvs i detta fallet hur långt respektive bil kört.

De frågar när bilarna har kört lika långt, vilket du alltså kan ta reda på genom att bestämma vid vilken tidpunkt t areorna under graferna är lika stora.

(Tidpunkten då graferna korsar varandra är då bilarna har samma hastighet, men det är inte relevant i den här uppgiften.)

Okej men hur upptäcker jag då bilarnas areor är samma vid en viss tidpunkt på grafen? Jag provade att räkna ut arean under grafen för blåa bilen och fick det till 18 m och den svarta bilen fick jag det till 12,25 m. Deras areor är ej detsamma här. 

Du får leta upp tiden T då ytorna är lika stora.

Mahiya99 skrev:

Okej men hur upptäcker jag då bilarnas areor är samma vid en viss tidpunkt på grafen? Jag provade att räkna ut arean under grafen för blåa bilen och fick det till 18 m och den svarta bilen fick jag det till 12,25 m. Deras areor är ej detsamma här. 

Graferna är två räta linjer.

Börja med att bestämma dessa linjers ekvationer på formen y = kx + m.

När du väl har det kan du sätta upp två uttryck som beskriver areorna under graferna mellan tidpunkterna 0 och t.

Sätt dessa två uttryck lika med varandra och lös ut t.

Den ena grafen har funktionen y =-x+6 och den andra är 0,5x+3.

Jag får ekvationssystemet - x+6=3t/2 och 0,5x+3=4,5t/2. Är jag på rätt spår? När jag sätter dem lika med varandra som funktionen v =0,5t+3,0 och v =6,0-t så får jag att t =5

Mahiya99 skrev:

Den ena grafen har funktionen y =-x+6 och den andra är 0,5x+3.

Det stämmer.

Den ena grafen har arean 22,05 och den andra grafen har arean 18 m 

Det stämmer inte. Hur gör du för att räkna ut areorna? Hur stora areorna är beror på x-värdet. Du skall ta reda på för vilket x det gäller att de båda areorna är lika stora.

Vi känner ej till för vilket x som deras areor är gemensamma för, alltså tiden i det här fallet. Det är just det jag har svårt att ta reda på eftersom jag drog streck såhär

Det blåa grafen där strecket drogs ser ut att ha en area på 2,5t och svarta ser ut att ha en area på t*(4,6-3)/2 

Se bild nedan, den blåa punkten har koordinaterna $(t, 6-t)$.

Området under den blåa grafen är en parallellogram och dess area är därför $\frac{6+(6-t)}{2}\cdot t=\frac{12t-t^2}{2}$ (titta i formelsamlingen).

Det betyder att den "blåa" bilen har hunnit $\frac{12t-t^2}{2}$ meter på $t$ sekunder.

Ta på samma sätt fram ett uttryck för arean under den svarta grafen vid tidounkten $t$.

Sätt dessa uttryck lika med varandra.

Lös ut $t$ ur den ekvationen.

Det ger dig tidpunkten då de båda bilarna har förflyttat sig lika långt från omkörningsplatsen.

Förlåt Yngve men jag ser ej var du menar är parallelogram. Du får gärna peka som du gjorde med t 

Menar du såhär? 

Kan man ej lösa den här uppgiften på ett annat sätt än sättet du presenterade Yngve? Det är ej säkert att jag begriper det här sättet. 

Mahiya99 skrev:

Förlåt Yngve men jag ser ej var du menar är parallelogram. Du får gärna peka som du gjorde med t 

Men hur kan den figuren vara en parallelogram? Det är typ en rektangel plus en triangel. I formel samlingen ser det ej ut så. Jag antar i alla fall att man ska lägga ihop dessa areor. 

Men för mig blir rektangel delen t*2,3 och triangel blir (6-2,3)*t /2. 

Det stämmer, det är inte en parallellogram. det är ett parallelltrapets. I en parallellogram skall alla sidor vara parvis parallella med varandra.

En parallellogram är en fyrhörning där två av sidorna är parallella med varandra. Ser du att det stämmer med bilden?

Jaha okej. 

Mahiya99 skrev:

Men hur kan den figuren vara en parallelogram? Det är typ en rektangel plus en triangel. I formel samlingen ser det ej ut så. Jag antar i alla fall att man ska lägga ihop dessa areor. 

Jag tror Yngve menar parallelltrapets, som är en generalisering av ett parallellogram.

Okej formeln för en paralleltrapets är h(a+B) /2. Men jag har svårt att lista ut utifrån figuren vilken som är a och b samt höjden. 

Jag tänker mig att h är t och b är 6. Men jag vet ej vilken som är a 

Det stämmer, jag menade parallelltrapets.

Areaformeln är A = (a+b)*h/2, där a och b är längderna på de parallella sidorna och h är avståndet mellan de parallella sidorna.

I det här fallet så är alltså b = 6, a = 6-t och h = t.

Hm hur kan b vara 6-t?

Yngve b är den korta sidan så den är 6-t och b = 6-t 

Jag fick att den svarta grafen har arean 1,5t/2

Mahiya99 skrev:

Yngve b är den korta sidan så den är 6-t och b = 6-t 

Det spelar ingen roll om den korta sidan är a eller b.

Jag valde att kalla den vänstra sidan för b eftersom det var så du hade gjort tidigare.

Mahiya99 skrev:

Jag fick att den svarta grafen har arean 1,5t/2

Nej det stämmer inte. Visa hur du kom fram till det så hjälper vi dig att hitta felet.

höjden är 4,5-3 och basen är t för triangel. För rektangel under är höjden 3 och basen är t 

Mahiya99 skrev:

höjden är 4,5-3 och basen är t för triangel. För rektangel under är höjden 3 och basen är t 

Nej, du ska inte mäta i figuren, eftersom vi inte vet att det t vi söker ligger just där.

Det kan lika gärna ligga 1 längdenhet åt höger. Eller 0,56378 längdenheter åt vänster ...

Även här är området ett parallelltrapets. Den vänstra sidan har längden 3 och den högra sidans längd beror även här på t. 

Förstod du hur vi kom fram till sidlängderna 6 och 6-t i det andra fallet?

I så fall kan du tänka på samma sätt här.

Då har vi 12t-6t^2= 6t-t^2/2

Den blåa triangelns yta beskriver det maximala avståndet mellan bilarna som inträffar efter 2 sekunder. Det är (3*2)/2 = 3 m (ganska lite jämfört med en bils storlek) och de har hastigheten 14,4 km/h så de kör nog i parallella filer i stadstrafik. Därefter är den svarta bilens hastighet störst så avståndet mellan dem krymper nu. De är åter parallellt med varandra vid T = 4 s, då trianglarnas ytor är lika.

Mahiya99 skrev:

Då har vi 12t-6t^2= 6t-t^2/2

Nej det stämmer inte.

Börja med att skriva ett uttryck för arean under den svarta grafen, se bild.

Den vänstra sidan har längden 3. Vad har den högra sidan för längd?

Jag hänger ej med på hur man ska tänka här. Är det ej paralleltrapets? Den högra sida har längden 3-t? Varför multiplicerar du med 4? 

Jan Ragnar skrev:

Den blåa triangelns yta beskriver det maximala avståndet mellan bilarna som inträffar efter 2 sekunder. Det är (3*2)/2 = 3 m (ganska lite jämfört med en bils storlek) och de har hastigheten 14,4 km/h så de kör nog i parallella filer i stadstrafik. Därefter är den svarta bilens hastighet störst så avståndet mellan dem krymper nu. De är åter parallellt med varandra vid T = 4 s, då trianglarnas ytor är lika.

Hur kom du fram till det? Jag förstår ej hur du fick fram 14 km/h och tiden 4 s

Jag hade använt 

S= v0t + (at^2)/2

Och satt dem lika varandra eftersom det är när s är likadan som efterfrågas

Så det blir

v01*t + (a1*t^2)/2 = v02*t + (A2*t^2)/2

Lös sedan ut t och stoppa in värden för bilarnas acceleration och begynnelsehastighet. Kan man ej göra så istället? 

Jag läser teknisk basår på KTH justnu. Integrationer är nästa termin. Så vi håller oss till matte 3c. 

Men jag fick iaf ut tiden med hjälp av den där andra sättet jag nämnde. 

Så bra. Lycka till med basåret!

Mahiya99 skrev:

Jag hade använt 

S= v0t + (at^2)/2

Och satt dem lika varandra eftersom det är när s är likadan som efterfrågas

Så det blir

v01*t + (a1*t^2)/2 = v02*t + (A2*t^2)/2

Lös sedan ut t och stoppa in värden för bilarnas acceleration och begynnelsehastighet. Kan man ej göra så istället? 

Jo det går bra att göra så istället.

Det går ofta att lösa ett problem på flera olika sätt.

Om du vill/orkar så är det en bra extraövning att tolka den sträckaformel du använde geometriskt. De båda termerna i formeln motsvarar nämligen en rektangel och en triangel, precis som det spåret du var inne på tidigare i den här tråden.