Uppgift på median/integration av frekvensfunktion.

Hej! Jag har svårt att förstå den här uppgiften och skulle behöva hjälp:

Lösningen:

Det är tre saker i lösningen som jag inte förstår:

1) Varför det gäller att integralen av frekvensfunktionen f(x) från μ till ∞ är lika med integralen av 1/(1+x^2) från 0 till ∞?

2) Och likaså förstår jag inte heller varför integralen av f(x) från -∞ till μ är lika med integralen av 1/(1+x^2) från -∞ till 0?

3) Och slutligen förstår jag inte varför respektive integral måste vara lika med 1/2:

Om man hade integrerat från -∞ till medianen hade jag förstått det, eftersom medianen är det mittersta talet. Men nu när man integrerar från -∞ till μ förstår jag inte varför det till varje pris måste blir 1/2.

Mitt försök på uppgiften var att ställa upp en integral av f(x) från -∞ till medianen M och likställa med 1/2. Och då fick jag ett väldigt märkligt värde på M uttryckt i tangens och arctangens.

Stort tack!

1) och 2) Det saknas ett pi i nämnaren i facit. Det borde ha varit:

$\displaystyle \int_\mu^\infty f_X\left(x\right)\,dx=\int_\mu^\infty\frac1{\pi\,(1+(x-\mu)^2)}\,dx=\frac1\pi\int_\mu^\infty\frac1{1+(x-\mu)^2}\,dx\\=\lbrack VB\rbrack=\frac1\pi\int_0^\infty\frac1{1+t^2}\,dt=\frac1\pi\lbrack\arctan\left(t\right)\rbrack_0^\infty=\frac1\pi(\frac\pi2-0)=\frac12$

Man gör variabelbyte $t = x-\mu$ , så $dt = dx$ . Om $x=\mu$ , så är $t=0$ . Om $x\to\infty$ , så $t\to\infty$ .

3 (typ): Har man ett givet tal $\mu$ i parentesen i nämnaren av $f_X(x)$ , så visar uträkningen ovan att det är exakt detta tal som är medianen.

Om man inte märkt att det givna talet $\mu$ i nämnaren av $f_X(x)$ faktiskt är medianen, så kan man göra som du skrivit. Man söker ett tal $M$ sådant att

$\displaystyle \frac12=\int_M^\infty f_X\left(x\right)\,dx=\dots\lbrack\text{VB som ovan}\rbrack\dots=\frac1\pi\lbrack\arctan t\rbrack_{M-\mu}^\infty\\=\frac1\pi(\frac\pi2-\arctan\left(M-\mu\right))=\frac12-\frac{\arctan\left(M-\mu\right)}\pi$

Om denna likhet ska vara uppfylld, så måste $\arctan\left(M-\mu\right)=0$ och därmed $M=\mu$

Tack så mycket för hjälpen!

Svara