Uppgift - Visionärens vinkelben

Hej, jag behöver hjälp med följande uppgift:

I Vättern utanfär Motala finns ett konstverk med namnet Visionärens vinkelben, av konstnären Tommy Jerhammar. Det innehåller bland annat en vattenstråle som sprutar rakt upp i luften.  

a) vilket tryck har vattnet när det lämnar munstycket vid konstverkets botten?
b) Ungefär hur mycket energi krävs för att hålla konstverket igång ett helt år, och vad kan det tänkas kosta år 2022?

Gör lämpliga approximationer i uppgiften om det behövs.

Det första jag gjorde var att söka upp hur högt vattnet sprutas, vilket var 30 meter. Sedan utgick jag från den här bilden på konstverket:

Man ser att vattnet sprutas ut ur ett cylinderformat rör. Jag approximierade dimensionerna på den till 3 cm i diameter och 15 cm i höjd. Nu, för att ge mig på a) uppgiften tänkte jag såhär: Om jag kan beräkna accelerationen vattnet skjuts ut med kan jag ta det multiplicerat med massan för vattnet som får plats i röret för att få fram den resulterande kraften som vattnet sprutas ut med (F_res = ma). Sedan tar jag det delat på arean av munstycket för att få trycket vid munstycket (p = F/A). Jag sätter nollnivån vid munstycket. Vattnet har från början en rörelseenergi vid munstycket som sedan omvandlas till lägesenergi när vattnet stiger upp till 30 m (med antagandet att vi bortser från luftmotstånd och friktionsöfrluster). $\begin{array}{l}\frac{m{v}^2}{2}=mgh\\ v=\sqrt{2gh}\end{array}$

Jag fick då v till ca 24,3 m/s. Vattnet har alltså 24,3 m/s vid munstycket. Sedan antar jag att vattnet som precis kommer in i röret har hastigheten 0 m/s. Då ställde jag upp följande ekvationer (med antagandet att vi räknar på konstant acceleration):

24,3 = at    (v = v₀ + at)

0,15 = at²/2 (s = v₀t + at²/2)

Då fick jag ett ekvationssystem med två obekanta, a och t. a är accelerationen vattnet skjuts ut med, t är tiden det tar för vattnet att komma till toppen av munstycket från botten. När jag löste ekvationssystemet fick jag t till ca 0,012 sekunder och a till ca 2083,33 m/s². Sedan beräknade jag massan vattnet i röret genom $m=\rho V$. V = 0,015²*$\pi$* 0,15 = ca 1,06 * 10^-4 m³. Massan vatten är alltså 1000 * 1,06 * 10^-4 = 0,106 kg (106 g). Den resulterande kraften blir då F_res = 0,106 * 2083,33 = ca 220,8 N. Arean av munstycket är 0,015² * $\pi$. Trycket får jag då till $\frac{220,8}{0,{015}^2·\pi }\approx$312 400 Pa = 312,4 kPa. 

 

på b) uppgiften tänkte jag såhär: Först måste energi tillföras för att öka vattnets hastighet till 24,3 m/s. Sedan måste energi tillföras för att “lyfta” vattnet 30 meter upp. E_k = mv²/2 = (0,106 * 24,3²)/2 = 31,3 J. E_p = mgh = 0,106 * 9,82 * 30 = 31,228 J. Totalt behövs det 62,528 J. Detta är på en uppskjutning av vatten. Det tar som sagt 0,012 sekunder för vattnet att nå munstycket.

Det enda relevanta är tiden det tar för vattnet att nå munstycket eftersom det är just då som all energi tillförs för att skjuta upp den. Sedan sprutar fontänen kontinuerligt. Det tar 0,012 sekunder för vatten att fylla röret. När 0,012 sekunder har gått, har det tidigare vattnet som fyllde röret helt lämnat munstycket. Då har ett sprut redan skett. Vi  kan alltså säga att ett sprut är 0,012 sekunder. På en minut kommer det alltså ske 60/0,012 = 5000 sprut per minut. Detta ger 5000 * 60 * 24 * 365 = 2,628 * 10⁹ sprut / år. Då krävs den totala (nyttiga) energin 2,628 * 10⁹ * 62,528 = 1,643 * 10¹³ J. Jag behöver sedan tänka på att pumpen i fontänen har en verkningsgrad och räkna utifrån det den totala tillförda energin som behövs. Sedan omvandla det till kWh och beräkna kostnaden av det mha energipriser. Har jag tänkt rätt i både a) och b) uppgiften? Har ej tillgång till facit så hjälp uppskattas. Tacksam för svar! :)