15 svar
424 visningar
jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018 Redigerad: 28 sep 2018

Uppgiftsbank-Matematik 3-Derivata

Tanken med denna tråd är att ni ska kunna använda följande uppgifter för att träna och repetera era kunskaper inom momentet "Derivata" i matematik 3 kursen på gymnasiet. Därför har jag skapat en uppgiftsbank med varierande uppgifter från E till A-nivå. Om ni själva skulle vilja dela med er av uppgifter så får ni gärna bygga vidare på uppgiftsbanken inom momentet "Derivata". Kommentarer och inlägg som inte följer instruktionerna bör postas i en separat tråd eller skickas via PM. Detta för att göra tråden mer lättläst och mindre stökig.

Skulle ni hitta några fel eller liknande kan ni kontakta mig via PM här.

Tips: När du läser frågorna, scrolla så att frågan är längst ned på skärmen. Gör först ett eget försök att lösa uppgiften, innan du läser lösningsförslaget.


Min tanke är att strukturen på en post ska se ut som följande:


Nivå: (E, C eller A)


Uppgift: Här skriver du uppgiftens innehåll och fråga/frågor.


Lösning: Här skriver du lösningen till frågan/frågorna.


Skriven av:  Inget jag anser måste vara med, men endast om man vill refererar till vem som är uppgiftsskaparen eller var uppgiften kommer ifrån.


Tråden klistrad av Teraeagle, moderator.

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Den vägsträcka s(t) meter som en bil har rört sig på tiden t sekunder ges av sambandet s(t)=2t+4t2. Beräkna och tolka med ord.

a) s(5)

b) s'(5)


Lösning: 

a) s(5)=2·5+4·52=10+100=110m , Svar: Bilen har rört sig en sträcka av 110 meter på 5 sekunder.

b) s'(t)=2+8ts'(5)=2+8·5=2+40=42 m/s, Svar: Bilen har en hastighet på 42 m/s vid 5 sekunder.


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Bestäm ekvationen för tangenten till funktionen f(x)=x4-4x i punkten (2,8).


Lösning: f'(x)=4x3-4f'(2)=4·23-4=28, tangenten kan skrivas på formen y=kx+m där k=f'(2)=28 vilket ger y=28x+m.

Vi vet också att linjen går igenom punkten (2,8) vilket ger y(2)=88=28·2+mm=-48

Svar: y=28x-48


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Bestäm f'(x) om

a) f(x)=4x3+8x2

b) f(x)=4x

c) f(x)=9


Lösning: 

a) f'(x)=4·3x3-1+8·2x2-1=12x2+16x , Svar: f'(x)=12x2+16x

b) f(x)=4x=4x1f'(x)=4·1·x1-1=4x0=4·1=4, Svar: f'(x)=4

c) Derivatan av en konstant är alltid noll f(x)=9f'(x)=0, Svar: f'(x)=0


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Grafen till h(x)=3x3-9x har en maximipunkt. Bestäm maximipunktens koordinater.


Lösning: h'(x)=9x2-9, en egenskap som gäller för en extrempunkt det är att lutningen är noll dvs h'(x)=09x2-9=0x2=1x=±1x1=1 , x2=-1.

h''(x)=18xh''(1)=18·1=18, eftersom h''(1)>0 är det en minimipunkt.

h''(-1)=18·(-1)=-18, eftersom h''(-1)<0 är det en maximipunkt.

h(-1)=3·(-1)3-9·(-1)=-3+9=6

Svar: (-1,6)


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Bestäm med hjälp av derivata rektangelns maximala area.


Lösning: Arean för en rektangel är det samma som: A=bh, där b är basen och h är höjden.

Eftersom arean beror av variabeln x kan vi ska en funktion som beskriver arean för rektangeln.

A(x)=(8-x)2x=16x-2x2A'(x)=16-4xA''(x)=-4

A'(x)=016-4x=0x=4A''(4)=-4A''(4)<0 det är en maximipunkt.

A(4)=(8-4)·2·4=4·2·4=32 m2

Svar: 32 m2


Skriven av: Jonis10 

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018 Redigerad: 28 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm den funktion g(x)=kx3+kx2 där k är en konstant, för vilken det gäller att g'(2)=2.


Lösning: g'(x)=3kx2+2kx=k(3x2+2x), eftersom: g'(2)=22=k(3·22+2·2)k=2(3·22+2·2)=216=18

Svar: g(x)=x38+x28


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Två tangenter till y=x2-3x+2 skär varandra i en punkt och tangenterna tangerar kurvan då x=-2 och då x=1. Bestäm skärningspunktens koordinater.


Lösning: y'=2x-3

Tangenten då x=-2:

y(-2)=(-2)2-3·(-2)+2=4+6+2=12

 y'(-2)=2·(-2)-3=-4-3=-7

Vilket ger linjen: 12=-2·(-7)+m1m1=-2y1=-7x-2

Tangenten då x=1:

y(1)=12-3·1+2=1-3+2=0

y'(1)=2·1-3=2-3=-1

Vilket ger linjen: 0=-1·1+m2m2=1y2=-x+1

y1=y2-7x-2=-x+1-3=6xx=-12

y2(-12)=--12+1=32

Svar: (-12,32)


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm f'(9) då f(x)=6x-x22


Lösning: f(x)=6x12-x22f'(x)=6·12x12-1-2x2-12=3x-12-x=3x-x

f'(9)=39-9=33-9=1-9=-8

Svar: f'(9)=-8


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Kapitalet på Yngves bankkonto växer enligt K(x)=12000e0,018x, där K(x) är värdet i kronor efter x år.

a) Hur stor är räntesatsen?

b) Beräkna K'(4) och förklara innebörden av din beräkning.


Lösning: 

a) I detta fallet frågas det efter förändringsfaktor vilket lika med e0,0181.018 dvs en räntesats på1001-1.018=1,8% , Svar: 1,8%.

b) K'(x)=0,018·12000e0,018x=216e0,018xK'(4)=216e0,018·4232 kr/år

Svar: Efter 5 år ökar/växer Yngves pengar med 232 kr/år.

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm största och minsta värdet för f(x) då: f(x)=x3+3x2-24x+150x4


Lösning:

 f'(x)=3x2+6x-24f'(x)=03x2+6x-24=0x2+2x-8=0x=-1±3x1=2 , x2=-4

x2 lösningen är inte intressant eftersom vi undersöker i intervallet 0x4

f''(x)=6x+6f''(2)=6·2+6=18f''(2)>0, vilket säger att det är en minimipunkt. 

f(2)=23+3·22-24·2+15=-13

Vi måste även undersöka ändpunkterna på intervallet vilket ger:

f(0)=03+3·02-24·0+15=15f(4)=43+3·42-24·4+15=31

Svar: Största värdet: 31 , Minsta värdet: -13


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Funktionen t uppfyller följande två villkor t(4)=6 och -1t'(x)2. Vilka värden kan t(8) anta?


Lösning: Då t'(x)=-1y1=-x+m1 och går igenom punkten (4,6) det ger: y1(4)=66=-4+m1m1=10y1=-x+10y1(8)=-8+10=2

Då t'(x)=2y2=2x+m2 och går igenom punkten (4,6) det ger: y2(4)=66=2·4+m2m2=-2y2=2x-2y2(8)=2·8-2=14

Svar: 2t(8)14


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Visa med hjälp av derivatans definition vad derivatan till f(x)=1x blir.


Lösning:

 f'(x)=limh0f(x+h)-f(x)h=limh01h1(x+h)-1x=limh01hxx(x+h)-(x+h)x(x+h)=limh01hx-(x+h)x(x+h)=limh01h·-hx(x+h)=limh0-1x(x+h)=-1x2

Svar: f'(x)=-1x2


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Visa algebraiskt att 4x6-8x3-4


Lösning: Om t.ex. f(x)=4x6-8x3 så blir olikheten f(x)-4. För att kunna visa det behöver vi ta fram det minsta värdet funktionen f(x) kan anta.

f'(x)=24x5-24x2=24x2(x3-1) , f'(x)=024x2(x3-1)=0x1=0 , x2=1

f''(x)=120x4-48x, då x=1f''(1)=120·14-48·1=72f''(1)>0 vilket säger att det är en minimipunkt.

Vilket ger att det minsta värdet funktionen f(x) kan anta är f(1)=4·16-8·13=4-8=-4. Vilket gör att f(x)-4 V.S.V


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Bestäm t'(100) då t(x+h)=t(x)+h


Lösning: t'(x)=limh0t(x+h)-t(x)h=limh0t(x)+h-t(x)h=limh0hh=1, eftersom t'(x)=1 för alla x så medför det att t'(100)=1

Svar: t'(100)=1


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: En skål har formen av en rak cirkulär cylinder. Basytans radie och cylinderns höjd ska tillsammans ha längden 50 cm. Vilka dimensioner ska skålen ha för att få maximal volym?


Lösning: Om vi kallar radien för r och höjden för h ger det oss att: r+h=50h=50-r (r,h>0)

Volymen för en cirkulär cylinder är: V=Ah=r2πhV(r)=r2π(50-r)=50r2π-πr3V'(r)=100rπ-3πr2

V'(r)=0100rπ-3πr2=0rπ(100-3r)=0r1=0, r2=100333 cm

V''(r)=100π-6πrV''(1003)=100π-6π·1003=-100πV''(1003)<0 vilket säger att det är en maximipunkt. Då r=1003h=50-1003=150-1003=50317 cm

Svar: Då höjden är 17 cm och radien 33 cm


Skriven av: Jonis10

Svara Avbryt
Close