16 svar
414 visningar
jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018 Redigerad: 26 sep 2018

Uppgiftsbank-Matematik 3-Polynom och ekvationer

Tanken med denna tråd är att ni ska kunna använda följande uppgifter för att träna och repetera era kunskaper inom momentet "Polynom och ekvationer" i matematik 3 kursen på gymnasiet. Därför har jag skapat en uppgiftsbank med varierande uppgifter från E till A-nivå. Om ni själva skulle vilja dela med er av uppgifter så får ni gärna bygga vidare på uppgiftsbanken inom momentet "Polynom och ekvationer". Kommentarer och inlägg som inte följer instruktionerna bör postas i en separat tråd eller skickas via PM. Detta för att göra tråden mer lättläst och mindre stökig.

Skulle ni hitta några fel eller liknande kan ni kontakta mig via PM här.

Tips: När du läser frågorna, scrolla så att frågan är längst ned på skärmen. Gör först ett eget försök att lösa uppgiften, innan du läser lösningsförslaget. Matematik är inte en åskådarsport!


Min tanke är att strukturen på en post ska se ut som följande:


Nivå: (E, C eller A)


Uppgift: Här skriver du uppgiftens innehåll och fråga/frågor.


Lösning: Här skriver du lösningen till frågan/frågorna.


 Skriven av: Inget jag anser måste vara med, men endast om man vill refererar till vem som är uppgiftsskaparen eller var uppgiften kommer ifrån.


Tråden klistrad av Teraeagle, moderator

Kommentar tillagd av Smutstvätt, moderator, på begäran av jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018 Redigerad: 25 sep 2018

Nivå: E


 Uppgift: Förenkla uttrycket 6-9x3x-2


Lösning: 6-9x3x-2=32-3x3x-2=32-3x-(2-3x)=-32-3x2-3x=-3

Svar: -3


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018 Redigerad: 25 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: 

a) Ange en ekvation för den linje som går igenom punkten (1,1) och som är parallell med linjen 2y-4x-8=0

b) I vilken punkt skär din linje x-axeln?


Lösning: 

a) Vi börja med att skriva om vår linje på k-form y=kx+m2y-4x-8=02y=4x+8y=2x+4

Eftersom linjerna ska vara parallella behöver riktningskoefficient måste vara den samma vilket ger attk=2. Linjen y=2x+m går igenom punkten (1,1) vilket ger ekvationen: 1=2·1+mm=-1.

Svar: y=2x-1

b) Vi vill hitta punkten (x,0) dvs då linjen skär x-axeln. Detta ger ekvationen: y(x)=00=2x-1x=12 

Svar: I punkten (12,0)


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Lös ekvationen 4x2-16x5x-5=0


Lösning: Det ända sättet det rationella uttrycket ska bli noll är om täljaren är lika med noll. Detta ger ekvationen: 4x2-16x5x-5=04x2-16x=04x(x-4)=0x1=0 , x2=4

Kontrollering av lösningarna:

Då x=0VL=4·02-16·05·0-5=-05=0=HL , OK!

Då x=4VL=4·42-16·45·4-5=015=0=HL , OK!

Svar: x1=0 , x2=4


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Faktorisera uttrycken

a) 4x-x2

b) x2-49

c) x2-16x+64


Lösning: 

a) 4x-x2=x(4-x) , Svar: x(4-x)

b) x2-49=x2-72=(x-7)(x+7) , Svar: (x-7)(x+7)

c) x2-16x+64=x2-2·8·x+82=(x-8)2, Svar: (x-8)2


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: E


Uppgift: Beräkna z(-1) om z(x)=3x2-5x+2


Lösning: z(-1)=3·(-1)2-5·(-1)+2=3·1+5·1+2=3+5+2=10

Svar: z(-1)=10


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Ge ett exempel på ett rationellt uttryck som inte är definierat för x=8 och som får värdet 0 då x=-3


Lösning: För att uttrycket ska vara odefinierad då x=8 behöver nämnaren innehålla en faktor av (x-8). Uttrycket ska bli noll när x=-3 vilket gör att täljaren måste ha en faktor av (x+3).

Svar: Exempel på ett rationellt uttrycket: x+3x-8


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Ett polynom f(x) av tredje graden har tre nollställen, -3,-1 och 2. Dessutom gäller det att f(0)=3. Bestäm polynomet i faktoriserad form.


Lösning: Om vi skriver funktionen f(x) i faktorform blir det: f(x)=k(x+3)(x+1)(x-2), vi vet även att f(0)=33=k(0+3)(0+1)(0-2)3=k·3·1·(-2)3=-6kk=-12

Svar: f(x)=-12(x+3)(x+1)(x-2)


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Bestäm funktionernas nollställen.

a) f(x)=(x+2)(x-3)(x+4)

b) h(x)=x3-2x2-3x


Lösning: 

a) För att beräkna nollställena behöver vi lösa ekvationen: f(x)=00=(x+2)(x-3)(x+4)x1=-2 , x2=3 , x3=-4

Svar: x1=-2 , x2=3 , x3=-4

b) Samma tänk här, nu vill vi lösa ekvationen:

 h(x)=0x3-2x2-3x=0x(x2-2x-3)=0x1=0x2-2x-3=0x=1±4=1±2x2=3 , x3=-1

Kontrollering av lösningarna:

Då x=003-2·02-3·0=0=HL , OK!

Då x=333-2·32-3·3=0=HL , OK!

Då x=-1(-1)3-2·(-1)2-3·(-1)=0=HL , OK!

Svar: x1=0 , x2=3 , x3=-1


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Lös ekvationen x5-16x3=0


Lösning: x5-16x3=0x3(x2-16)=0x3(x-4)(x+4)=0x1=0 , x2=4 , x3=-4

Kontrollering av lösningarna:

Då x=0VL=05-16·03=0=HL , OK!

Då x=4VL=45-16·43=0=HL , OK!

Då x=-4VL=(-4)5-16·(-4)3=0=HL , OK!

Svar: x1=0 , x2=4 , x3=-4


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: C


Uppgift: Låt g(x)=12-4x2 och beräkna

a) g(-3)

b) g(b+1) 


Lösning: 

a) g(-3)=12-4·(-3)2=12-4·3=12-12=0 , Svar: g(-3)=0

b) g(b+1)=12-4(b+1)2=12-4(b2+2b+1)=12-4b2-8b-4=-4b2-8b+8

Svar: g(b+1)=-4b2-8b+8


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Förenkla uttrycket 4-t2-2tm-m22+t+m


Lösning: 

4-t2-2tm-m22+t+m=4-(t2+2tm+m2)2+t+m=4-(t+m)22+t+m=22-(t+m)22+t+m=(2-(t+m))(2+(t+m))2+t+m=(2-t-m)(2+t+m)(2+t+m)=2-t-m

Svar: 2-t-m


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Visa att talet 4200+4201+4202 är delbart med 7.


Lösning:

 4200+4201+4202=4200·1+4200·41+4200·42=4200(1+4+42)=4200(1+4+16)=4200·21=4200·3·7

Vilket gör medför att: 4200+4201+42027=4200·3·77=4200·3 V.S.V


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Förenkla 3x-15x2-2x-15


Lösning: Om kallar att g(x)=3x-15 och h(x)=x2-2x-15 detta ger: f(x)=3x-15x2-2x-15=g(x)h(x)

Börjar med att faktorisera g(x)=3x-15=3(x-5)

För att faktorisera h(x) kan vi t.ex. lösa ekvationen h(x)=0x2-2x-15=0x=1±16=1±4x1=5 , x2=-3. Vilket gör att h(x)=(x-5)(x+3)

f(x)=3x-15x2-2x-15=g(x)h(x)=3(x-5)(x-5)(x+3)=3x+3

Svar: 3x+3


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Lös ekvationen x-4=4-x


Lösning: 

x-4=4-xx-4=(4-x)2x-4=16-8x+x2x2-9x+20=0x=92±922-20=92±814-804=92±14=92±12x1=5 , x2=4

Kontrollering av lösningarna:

 x=5VL=5-4=1=1x=5HL=4-5=-11-1VLHL 

Det säger oss att x=5 är en falsk rot och inte är en lösning till vår ekvation.

x=4VL=4-4=0=0x=4HL=4-4=00=0VL=HL , OK!

Svar: x=4


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 25 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Anta att q(x) är ett polynom av grad 3. Punkterna (0,4) och (2,4) ligger på grafen. -4 och 1 är nollställen till q(x). Bestäm polynomets nollställen.


Lösning: q(x)=k(x+4)(x-1)(x-t) , där k är en konstant och t är det tredje nollstället.

Vi vet att: q(0)=41=k(0+4)(0-1)(0-t)4=k·4·(-1)·(-t)4=4kt1=kt

Vi vet även att:

 q(2)=44=k(2+4)(2-1)(2-t)4=k·6·1(2-t)4=6k(2-t)4=12k-6kt4=12k-610=12kk=56

1=kt1=56tt=65

Svar: Polynomet har nollställena -4, 1 och 65


Skriven av: Jonis10

jonis10 1886
Postad: 28 sep 2018

Nivå: A


Uppgift: Bestäm konstanterna ab och c för funktionen f(x)=x3+ax2+bx+c. Om funktionen har nollställena

  • f(1)=0
  • f(-3)=0
  • f(5)=0

Lösning: Vi vet att f(x)=k(x-1)(x+3)(x-5) och att k=1 eftersom koefficienten framför x3 är lika med ett.

Det gör att funktionen:

f(x)=(x-1)(x+3)(x-5)=(x2+3x-x-3)(x-5)=(x2+2x-3)(x-5)=x3-5x2+2x2-10x-3x+15=x3-3x2-13x+15

Eftersom:

f(x)=f(x)x3-3x2-13x+15=x3+ax2+bx+ca=-3 , b=-13 , c=15

Svar: a=-3 , b=-13 , c=15


Skriven av: Uppgiften kommer från användaren Korra. Lösningsförslaget är skrivet av Jonis10.

Svara Avbryt
Close