Uppräkneligt oändlig
Hej.
Om en mängd är uppräkneligt oändlig betyder det att den mängden har samma kardinalitet som mängden
Uppgift: Är uppräkneligt oändlig?
Jag skulle svara ja på den frågan eftersom båda mängderna är oändliga, man kan skapa en bijektion mellan dem. Vet ej hur jag skulle kunna göra en formel för det men, det går kanske.
Hur ska man tänka?
Börja med att försöka hitta en bijektion till de positiva rationella talen. Testa att skriva upp de positiva rationella talen i en oändligt stor "matris", där elementet på rad i, kolonn j ges av i/j. Därmed kommer alla positiva rationella tal finnas med i din matris. Det kanske kan ge dig en idé hur du kan räkna upp dem? Försök inte hitta en explicit formel för bijektionen, snarare en "regel", annars blir det nog väldigt svårt.
Ja, det stämmer. Du behöver inte skapa en perfekt formel, utan poängen är att du behöver hitta en ordning att räkna upp dem i utan att missa någon. Ett sätt är tex att första räkna alla bråk som innehåller talen 1-2, sen 1-3, sen 1-4. Ett annat att göra en tabell med alla heltal på båda "axlar", börja i hörnet 1,1 och gå på diagonalerna (1,2),(2,1) osv för att täcka alla kombinationer.
Det går ju att göra på följande sätt: Där har vi en bijektion. Jag antar att ni menar att man måste numbrera dem på ett sätt så man får med alla?
Ja, men problemet med din numrering är att vi aldrig kommer kunna hitta talen som har 2 som täljare, för de ligger oändligt långt bort. Du måste kunna hitta ett specifikt tal du letar efter. Därför är det bra att börja med alla små siffror, för talet du letar efter hamnar alltid ändligt långt bort, det finns ju begränsat antal kombinationer med bara vissa tal.
Micimacko skrev:Ja, men problemet med din numrering är att vi aldrig kommer kunna hitta talen som har 2 som täljare, för de ligger oändligt långt bort. Du måste kunna hitta ett specifikt tal du letar efter. Därför är det bra att börja med alla små siffror, för talet du letar efter hamnar alltid ändligt långt bort, det finns ju begränsat antal kombinationer med bara vissa tal.
Jaha, en ordnad lista där jag faktiskt kan hitta ett specifikt tal baserat på vad jag matar in. Men då behöver jag en formel, hur ska jag göra annars? Det blir svårt.
Det ska vara teoretiskt möjligt att hitta talet, men det behöver inte vara lätt. Men om du använder tex metoden med diagonaler vi föreslog så kan du ju alltid följa den, ett i taget, tills du hittar vad du vill ha.
Micimacko skrev:Ja, det stämmer. Du behöver inte skapa en perfekt formel, utan poängen är att du behöver hitta en ordning att räkna upp dem i utan att missa någon. Ett sätt är tex att första räkna alla bråk som innehåller talen 1-2, sen 1-3, sen 1-4. Ett annat att göra en tabell med alla heltal på båda "axlar", börja i hörnet 1,1 och gå på diagonalerna (1,2),(2,1) osv för att täcka alla kombinationer.
hmm. Typ, 1/1, 1/2, 2/1, 2/2, -1/1, -1/2, -2/1, -2/2
om man håller på så, då kan man teoretiskt få fram vilket tal som helst. Jag svarar ja, Q är uppräkneligt oändlig.
