Uppskatta skillnad

Jag förstår ingenting. Varför beräknar du sjättederivatan?

Du skall väl använda dig av Lagranges restterm:

$R_n\left(x\right)=\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}\left(x-a\right)^{n+1}$

där $0\leq\theta\leq1$. Då $n=4$ skall du väl bara beräkna femtederivatan?

AlvinB skrev:

Jag förstår ingenting. Varför beräknar du sjättederivatan?

Du skall väl använda dig av Lagranges restterm:

$R_n\left(x\right)=\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{(n+1)!}\left(x-a\right)^{n+1}$

där $0\leq\theta\leq1$. Då $n=4$ skall du väl bara beräkna femtederivatan?

För som jag skrev är p4(x)=p5(x) då borde jag väl beräkna R6(x)?

Att femtegradstermen i polynomet råkar vara noll gör detsamma. Du skall ändå räkna med $n=4$ och därmed beräkna femtederivatan.

EDIT: Du kan ju så klart få en snävare begränsning på felet genom att använda $n=5$, men om det krävs av uppgiften tycker jag den luras genom att tala om $p_4(x)$.

AlvinB skrev:

Att femtegradstermen i polynomet råkar vara noll gör detsamma. Du skall ändå räkna med $n=4$ och därmed beräkna femtederivatan.

EDIT: Du kan ju så klart få en snävare begränsning på felet genom att använda $n=5$, men om det krävs av uppgiften tycker jag den luras genom att tala om $p_4(x)$.

Lagrange restterm är i hens bok formulerad med avseende på en snävare definition:

Den använder alltså en definition av resttermen enligt:

$R_{n+1}\left(x\right)=f\left(x\right)-p_n\left(x\right)$

Hej!

Uppgift b. Det du vill göra är att finna en övre begränsning till

    $\sup\limits_{|x|\leq 1/4}|f(x)-p_4(x)|$

vilket motsvaras av att finna en övre begränsning till

    $\sup\limits_{|x|\leq 1/4}|f^{(5)}(\theta x)| \ , \quad 0<\theta < 1.$

Om du skriver "plot fifth derivative of ln(1-x^2) for x=-0.25 to 0.25" i Wolfram Alpha så ser du att en övre begränsning till supremum är talet $100$.

    $\sup\limits_{|x|\leq 1/4}|f^{(5)}(\theta x)| \leq 100.$

Detta ger en övre begränsning

    $\sup\limits_{|x|\leq 1/4}|f(x)-p_4(x)| \leq \frac{100}{5!}\cdot (\frac{1}{4})^5 \approx 0.001.$

Albiki skrev:

Om du skriver "plot fifth derivative of ln(1-x^2) for x=-0.25 to 0.25" i Wolfram Alpha så ser du att en övre begränsning till supremum är talet $100$.

    $\sup\limits_{|x|\leq 1/4}|f^{(5)}(\theta x)| \leq 100.$

Tack för alla förklaringar. Jag har försökt förstå, har dock inte stött på ordet supremum tidigare av någon anledning. Så jag ska kolla vidare på de. Såg däremot att jag räknat fel och har räknat om, men är inte säker på att det är rätt tänkt eller förstått bokens svar. Jag har räknat fram |R6(x)| och det blir nära bokens svar. Är de det maximala felet |f(x)-p4(x)|=|f(x)-p5(x)|=|R6(x)| jag ska räkna ut? Menar boken att det felet är maximalt 10^(-4) även om de inte kan vara det? Men vad kommer då 1/(3*15^3) ifrån? Bokens svar är ju: Felets storlek är högst 1/(3*15^3)<10^(-4) (fattar inte svaret eller om jag har tänkt rätt 🙄)