Uppskatta y(3) med Eulers stegmetod med steglängd 0.5

En lösningskurva till $y\text{'}=\sqrt{y}-x$ går genom punkten (1 , 2). Uppskatta värdet av y(3) med hjälp av Eulers stegmetod och steglängden ...

a) h = 1

b) h = 0.5 

 

Löste uppgift a, men får problem i uppgift b. Beräkningarna blir sjukt långa och känns som jag gör något fel.

Så här har jag gjort:

b)

$y\text{'}=\sqrt{y}-x$

h = 0,5

 

Formeln för nästa "approximerade" y-värde borde bli:

$y\left(n+h\right) = y\left(n\right) + h \times y\text{'}\left(n\right)\hspace{0.17em}= y\left(n\right) + \frac{1}{2}y\text{'}\left(n\right) =\hspace{0.17em}y\left(n\right) + \frac{\sqrt{y\left(n\right)} -n}{2}$

Man börjar väl alltså stega från punkten (1 , 2) så första steget blir till (1,5 ; y(1,5)) osv till (3  , y(3)).

1. $y\left(1,5\right) = 2 + \frac{\sqrt{2}-1}{2} =\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{2}+3}{2}$
2. $y\left(2\right) =\hspace{0.17em}\frac{\sqrt{2}+3}{2}+\frac{\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3}{2}}}-1,5}{2} = \frac{\sqrt{2}+\sqrt{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+3}{2}}}-1,5}{2}$

 

Redan efter två steg blir det ett sjukt jobbigt uttryck att jobba vidare med och värre blir det såklart om man ska lösa uppgiften helt algebraiskt... två steg kvar. Borde jag bara ta första uttrycket $\frac{\sqrt{2}+3}{2}$på miniräknaren och fortsätta med ett närmevärde på det?

Går jag annars rätt väg eller finns det nåt enklare sätt? Det är en nivå 1 uppgift. Svaret ska bli 1,39.

 

Tacksam för hjälp :)