10 svar
96 visningar
ugglan123 29
Postad: 6 maj 2020

uträkning med De Moivres formel

z^3+27i=0

för att använda d.M.formel vill jag ha z^3 ensamt: 

z^3=-27i

Absolutbeloppet av z^3=27--> absolutbeloppet av z 3=3

För att kunna använda d.M.formel måste man både ha absolutbeloppet och argumentet av z

Eftersom det inte finns någon Re Z kommer arg z= tan-1=3/0 (eller är arg z=27/0???). 

Eftersom den Re Z=0 kommer inte lösningen existera. Och då förstår jag inte hur jag ska lösa uppgiften.

Tacksam för svar

Tänk grafiskt. -27i sitter på den negativa y-axeln, alltså rakt nedåt från origo. Vilken vinkel pekar rakt nedåt?

Affe Jkpg 6796
Postad: 6 maj 2020

Tips på sätt att tänka:

https://www.pluggakuten.se/trad/vet-ej-hur-man-ska-gora-detta/

ugglan123 29
Postad: 18 maj 2020

arg z är alltså 3pi/4=270grader.

z^3=3^3(cos (3*270)+ i * (3*270)=27*0+27*1*i=27*i?  

Är lösningen alltså 27i?

Affe Jkpg 6796
Postad: 18 maj 2020

När man multiplicerar tre komplexa tal (z * z * z) multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

Börja med att rita z3 i det komplexa talplanet.

z3=-27iz3=27(32π+2nπ)z=3(π2+23nπ)z1=3π2z2=3π76z3=3π116

Du kan själv räkna om lösningarna från polära tal, till tal i det komplexa talplanet :-)

ugglan123 29
Postad: 19 maj 2020

Tack för hjälpen. Vissa frågetecken kvarstår fortfarande för mig. När vi går från z3 =27∠(32π+2nπ) till z=3∠(π2+23nπ) så har vi ju tagit tredje-roten-ur på VL och HL: (z3)(1/3) = 27(1/3). Varför ta du enbart dividerat med 3 här: z3=27∠((3/2π)+2nπ)--> z=3∠((π/2)+(2/3)nπ)?

Affe Jkpg 6796
Postad: 19 maj 2020 Redigerad: 19 maj 2020

Varför ta du enbart dividerat med 3 här: z3=27∠((3/2π)+2nπ)--> z=3∠((π/2)+(2/3)nπ)?

När man multiplicerar tre komplexa tal (z * z * z) multiplicerar man deras belopp och summerar deras vinklar.

Beloppet:

3 * 3 * 3 = 27

Vinkel-exempel:

 π2+π2+π2=3π2

Vinklar i uppgiften:

3π6+7π6+11π6=21π6=12π6+9π6=2π+3π2

ugglan123 29
Postad: 19 maj 2020

Ahh okej. Nu är jag helt med på hur man löser fram z1, men z2 och z3 ? Hur kom du fram till att z2=3∠π(7/6)  och z 3=3∠π(11/6)?

Affe Jkpg 6796
Postad: 19 maj 2020

z=3(π2+23nπ)n=0: z1=3π2n=1: z2=3π76n=2: z3=3π116

ugglan123 29
Postad: 19 maj 2020 Redigerad: 19 maj 2020

Aha okej (såhär tänkte jag:  z=3∠(π/2+(2/3)nπ) ger n=1--> ∠(π/2 + 2π )=5π/2? alltså: z2 =3∠(5π/2) , och samma resonemang leder till att z3 =3∠(9π/2) ) 

Men skillnaden på ditt och mitt tankesätt är att du även dividerar ... + n2π med 3 och inte enbart vinkeln utan även dess period?, vilket ger dig perioden n(2/3)π

De tre lösnigarna till ekvationen ligger jämnt fördelade på en cirkel med centrum i origo ich radien 3. Det betyder att de tre punkterna ligger på en liksidig triangel.

Svara Avbryt
Close