Uttryck för en partikel som genomgår en centralkraftrörelse (Fysik/Universitet)

Då partikeln genom centralkraftsrörelse, går det att använda centripetalacceleration på något sätt?

$F = m a = m a_{c} = . . .$

Enligt Newtons ... rörelselag.

Om du kört fast helt så finns det lite mer hjälp här:

Visa spoiler

Jobba i ett NT-koordinatsystem. Dvs axlarna består av normal och tangent. Det underlättar friläggningen (figuren) och hur man ska tänka med Newtons rörelselagar, i synnerhet den andra. $F_{t o t} = m a$ .

Partikeln är i jämvikt i axeln tangent, men inte i normalriktning. Där är den under inverkan av Newtons allmänna gravitationskraft.

$m a_{c} = m \frac{v^{2}}{2} = \frac{G m M}{r^{2}}$

För vilket hastigheten $v$ är i tangentiell riktning. Vad kan man göra med ovanstående uttryck?

Den totala energin kan räknas klassisk mekanisk, där jag kommer på två saker som bidrar. Rörelseenergi och ....

Truppeduppe skrev:
Då partikeln genom centralkraftsrörelse, går det att använda centripetalacceleration på något sätt?

$F = m a = m a_{c} = . . .$

Enligt Newtons ... rörelselag.

Om du kört fast helt så finns det lite mer hjälp här:

Visa spoiler

Jobba i ett NT-koordinatsystem. Dvs axlarna består av normal och tangent. Det underlättar friläggningen (figuren) och hur man ska tänka med Newtons rörelselagar, i synnerhet den andra. $F_{t o t} = m a$ .

Partikeln är i jämvikt i axeln tangent, men inte i normalriktning. Där är den under inverkan av Newtons allmänna gravitationskraft.

$m a_{c} = m \frac{v^{2}}{2} = \frac{G m M}{r^{2}}$

För vilket hastigheten $v$ är i tangentiell riktning. Vad kan man göra med ovanstående uttryck?

Den totala energin kan räknas klassisk mekanisk, där jag kommer på två saker som bidrar. Rörelseenergi och ....

Enligt ett klipp som jag tittade på igår så härledde han den såhär. Se bild nedan. Men jag har några frågor gällande vissa definierade saker:

1) Vad står r_A=ed/(1+e) för ? I kursboken såg jag r=ed/(1+cos(v)). Var försvann cosv?

2) där jag ringde in hastighetsvektorn v=r(prick)*e_r+rthetaprick*etheta förstår jag inte var det kommer ifrån som definierades ibörjan.

3) jag undrar samma sak om v=r_A*thetaprick_A dvs vad det är för hastighet och varför man definierar på det sättet?

4) jag har märkt när man definierar den totala energi för en partikel så står det -GmM/r_A , varför ska det inte vara ett plus tecken framför?

1. Han betraktar läget då partikeln befinner sig så nära centrum som möjligt.

2. Det är den allmänna formeln för hastighet i polära koordinater. Om vi speciellt betraktar läget som är närmast centrum så är r-prick noll.

3. Se 2.

4. E = T + V. V(r) = -GMm/r. Beräkna -gradV och se att du får uttrycket för gravitationskraften.

PATENTERAMERA skrev:
1. Han betraktar läget då partikeln befinner sig så nära centrum som möjligt.

2. Det är den allmänna formeln för hastighet i polära koordinater. Om vi speciellt betraktar läget som är närmast centrum så är r-prick noll.

3. Se 2.

4. E = T + V. V(r) = -GMm/r. Beräkna -gradV och se att du får uttrycket för gravitationskraften.

1. Så om partikeln befinner sig så nära centrum så är vinkeln theta ungefär 0 då cos(theta)=>1 då theta går mot 0?

2. Jaha okej, men varför är rprick=0 då partikeln är närmast centrum?

3. Ja ok, då är nästa fråga var h/r_A² kommer ifrån när man skriver om thetaprick?

4. Ok, jag får 1/r²*GMm när man deriverar map på r. Men varför är det så att potentiella energi är negativt?

5 . I boken står det ed=h²/GM som även definieras i början av härledningen. Var kommer detta uttryck ifrån?

1. r är min då theta = 0 eftersom nämnaren blir max då.

2. r är ju avståndet till centrum. Om r är min så är dess derivata noll.

3. h är en rörelsekonstant. h $= r^{2} \dot{θ}$ , per definition.

4. Om vi har V(r) = k/r så blir F = -gradV = (k/r²)r/|r|. Om vi har en attraktiv kraft (som gravitationen) så skall k vara negativ, annars blir kraften repulsiv. Så vi måste ha ett minus.

5. Förhoppningsvis så härleds detta i boken.

PATENTERAMERA skrev:
1. r är min då theta = 0 eftersom nämnaren blir max då.

2. r är ju avståndet till centrum. Om r är min så är dess derivata noll.

3. h är en rörelsekonstant. h $= r^{2} \dot{θ}$ , per definition.

4. Om vi har V(r) = k/r så blir F = -gradV = (k/r²)r/|r|. Om vi har en attraktiv kraft (som gravitationen) så skall k vara negativ, annars blir kraften repulsiv. Så vi måste ha ett minus.

5. Förhoppningsvis så härleds detta i boken.

1. AI fick fram detta när de deriverade rprick så när theta =0 så blir alltså rprick =0 enligt uttrycket i bilden nedan.

3. Hm jag antar att detta kommer ifrån rörelsemängdmomentet eller liknande som är L=mrthetaprick^2 där man namngett L/m= till h , för jag hittar inte just L=mrthetaprick^2 i boken..

4. Okej så det handlar alltså om att det uppstår en attraktiv kraft mellan kropparna och därför är potentiella energin negativ?

5. Faktiskt inte, det står inte var detta kommer ifrån framför allt var h^2/GM kommer ifrån.

1. Du behöver inte AI till detta - du vet ju att då en (deriverbar) funktion är min/max så är derivatan noll. Om du tänker dig r som en funktion av tiden så gäller det därför att $\dot{r} = 0$ då r är min.

3. Ja du kan få fram det på detta sätt, eller så ställer du upp newtons ekvationer på polär form. Theta-ekvationen ger då direkt att h = konstant.

4. Korrekt.

5. Finns det verkligen inga härledningar i boken? Vilken bok har ni?

Tillägg: 25 jul 2025 17:19

När det gäller punkt 4. så är det så att om vi har en attraktiv kraft mot centrum, som beror av enbart av r, så måste den potentiella energin öka med med ökande avstånd r.

Om vi har en potentiell energi på formen k/r, så är detta en ökande funktion i r om k är negativ.

PATENTERAMERA skrev:
1. Du behöver inte AI till detta - du vet ju att då en (deriverbar) funktion är min/max så är derivatan noll. Om du tänker dig r som en funktion av tiden så gäller det därför att $\dot{r} = 0$ då r är min.

3. Ja du kan få fram det på detta sätt, eller så ställer du upp newtons ekvationer på polär form. Theta-ekvationen ger då direkt att h = konstant.

4. Korrekt.

5. Finns det verkligen inga härledningar i boken? Vilken bok har ni?

1. Ja okej , men hur vet vi i det fallet att r är min eller max?

3. Jag hittade denna men de inkluderar aldrig m dvs de använder sig inte av h/mr^2=thetaprick.

5. Boken heter Nicholas Apazidis Mekanik I statik och partikeldynamik med lösningsförslag

Eftersom centralkraften inte ger något moment map origo så är H = konstant. Men eftersom massan inte ändras så måste $r^{2} \dot{θ}$ vara en konstant, som vi kan kalla h.

Det framgår av lösningen att man tittar på det läge A där r är min. Theta = 0.

PATENTERAMERA skrev:
Eftersom centralkraften inte ger något moment map origo så är H = konstant. Men eftersom massan inte ändras så måste $r^{2} \dot{θ}$ vara en konstant, som vi kan kalla h.

Det framgår av lösningen att man tittar på det läge A där r är min. Theta = 0.

Nu när jag tänker efter så är det pga sektorhastigheten för den definieras som A(prick)=1/2h=1/2r²thetaprick.

Jaha ok men då är jag med isåfall.

PATENTERAMERA skrev:
1. Du behöver inte AI till detta - du vet ju att då en (deriverbar) funktion är min/max så är derivatan noll. Om du tänker dig r som en funktion av tiden så gäller det därför att $\dot{r} = 0$ då r är min.

3. Ja du kan få fram det på detta sätt, eller så ställer du upp newtons ekvationer på polär form. Theta-ekvationen ger då direkt att h = konstant.

4. Korrekt.

5. Finns det verkligen inga härledningar i boken? Vilken bok har ni?

Tillägg: 25 jul 2025 17:19

När det gäller punkt 4. så är det så att om vi har en attraktiv kraft mot centrum, som beror av enbart av r, så måste den potentiella energin öka med med ökande avstånd r.

Om vi har en potentiell energi på formen k/r, så är detta en ökande funktion i r om k är negativ.

Hm men borde inte potentiella energi som funktion av r minska om r ökar? Jag förstår inte hur den potentiella energi ökar med ökande avstånd r.

Tänk dig att du står på jordytan (r = r₀). Minskar din potentiella energi om tar hissen till 6:te våningen (r=r₀+ $∆ r$ ) ?

PATENTERAMERA skrev:
Tänk dig att du står på jordytan (r = r₀). Minskar din potentiella energi om tar hissen till 6:te våningen (r=r₀+ $∆ r$ ) ?

Det ökar väl men jag tänker på minustecknet framför uttrycket för energi.

Så du är med på att den potentiella energin skall öka om vi ökar r?

PATENTERAMERA skrev:
Så du är med på att den potentiella energin skall öka om vi ökar r?

Ja det är jag med på. Men inte varför det skall stå ett minustecken framför den energin.

Om du har en potentiell energi på formen V(r) = 1/r, så avtar den potentiella energin då r ökar. Det vill vi inte.

Om du istället har V(r) = -1/r så får du en potentiell energi som ökar då r ökar. Detta är vad vi vill ha. Den potentiella energin skall vara större på sjätte våningen än på entréplanet.

PATENTERAMERA skrev:
Om du har en potentiell energi på formen V(r) = 1/r, så avtar den potentiella energin då r ökar. Det vill vi inte.

Om du istället har V(r) = -1/r så får du en potentiell energi som ökar då r ökar. Detta är vad vi vill ha. Den potentiella energin skall vara större på sjätte våningen än på entréplanet.

Ja okej. Jag förstår nu

Hur kommer de fram till ed=h²/GM(1+e)?