Uttryck för masscentrums acceleration då en boll rullar utan glidning

Tydligen gäller att

$a_{MC} = \alpha r$

för en boll utan glidning. Hur kommer man fram till det?

$\vec{v}_{MC} = \vec{\omega} \times \vec{r}$

$\vec{a}_{MC} = \dot{\vec{\omega}} \times \vec{r} + \vec{\omega} \times \dot{\vec{r}}$

För att det ska stämma behöver den andra termen i det sista uttrycket bli 0. Jag vet att kontaktpunken är momentant i vila, men ej varför den försvinner?

Ett annat resonemang är tydligen:

Låt kontaktpunkten vara p:

$\vec{v}_{p} = \vec{v}_{MC} +\vec{\omega} \times \vec{r}$

Den är är vila så hela HL är 0. Då blir helt enkelt

$v_p = \omega r$ .

(Notera att tecknena faktiskt blir korrekt, negativ rotation ger positiv hastighet och viceversa)

Men här dyker det också upp en $\dot{r}$ enligt produktregeln om vi deriverar.

Jag tror jag blandar ihop något. Tacksam för hjälp.

r är väl bollens radie, som jag antar är en konstant. r-prick blir noll.

Så tänkte jag med, men vad har det med glidning att göra? Sker det en riktningsförändring av r på något sätt då? Hmm.

Om A och B är två punkter i en stel kropp så har vi generellt dessa sambandsformler.

${\vec{v}}_{B} = {\vec{v}}_{A} + \vec{ω} \times \vec{A B}$ (I).

${\vec{a}}_{B} = {\vec{a}}_{A} + \vec{α} \times \vec{A B} + \vec{ω} \times (\vec{ω} \times \vec{A B})$ (II).

Låt nu speciellt B = p vara den punkt på bollen som momentant har kontakt med marken och låt A = c vara bollens centrum.

$\vec{A B} = \vec{c p} = - R {\vec{e}}_{z}$ . R är bollens radie.

No-slip-villkor betyder att ${\vec{v}}_{p} = 0$ .

(I) ger då att

${\vec{v}}_{c} = \vec{ω} \times R {\vec{e}}_{z}$ (1).

Vi deriverar (1) map tiden och får

${\vec{a}}_{c} = \vec{α} \times R {\vec{e}}_{z} + \vec{ω} \times \frac{d (R {\vec{e}}_{z})}{d t} = \vec{α} \times R {\vec{e}}_{z}$ (2).

Om vi sedan utnyttjar (II) och (2) så får vi att

${\vec{a}}_{p} = \vec{ω} \times (\vec{ω} \times (- R {\vec{e}}_{z}))$ (3).

Om vi nu har

$\vec{ω} = ω_{x} {\vec{e}}_{x} + ω_{y} {\vec{e}}_{y} + ω_{z} {\vec{e}}_{z}$

$\vec{α} = α_{x} {\vec{e}}_{x} + α_{y} {\vec{e}}_{y} + α_{z} {\vec{e}}_{z}$ ,

så kan du sätta in detta i (1), (2) och (3) och se vad du får i slutändan.

Svara

Visa senaste svar