V(X), V(Y) givet f_{X,Y](x,y)

Notera att

$f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)} = \frac{1}{2x}$ på intervallet $[-x, x]$.

Så givet att $X=x$ så är den betingade sannolikheten för $Y$ likformigt fördelad på $[-x, x]$. Väntevärdet för en sådan symmetrisk fördelning är 0.

Vi kan använda att $E[Y] = E[E[Y\mid X]]$ och eftersom $E[Y\mid X=x] =0$ så måste $E[Y] =0$.

Gustor skrev:

Notera att

$f_{Y\mid X}(y\mid x) = \frac{f_{X, Y}(x, y)}{f_X(x)} = \frac{1}{2x}$ på intervallet $[-x, x]$.

Så givet att $X=x$ så är den betingade sannolikheten för $Y$ likformigt fördelad på $[-x, x]$. Väntevärdet för en sådan symmetrisk fördelning är 0.

Vi kan använda att $E[Y] = E[E[Y\mid X]]$ och eftersom $E[Y\mid X=x] =0$ så måste $E[Y] =0$.

Betingat väntevärde ingår inte i min kurs, men slog upp definitionen. Så i uppgiften, är alltså $X$ en stokastisk variabel som representerar den betingade sannolikheten att $Y$ är likformigt fördelad på $[-x,x]$? Här hänger jag nog inte riktigt med. Jag förstår att om en s.v. $Z$ likformigt fördelad på ett intervall $[a,b]$ så gäller $E(Z)=\frac{a+b}2$ vilket med $a=x,b=-x$ blir att $E(Z)=0$. Eller är $Y$ helt enkelt en likformig fördelning? Det går inte riktigt ihop för mig, får jag ser inte vad $\frac 1{2x} e^{-x}$ i täthetsfunktionen representerar då.

Eftersom betingat väntevärde är utanför min kurs så tänkte jag att man kanske kunde använda som de gör i facit:

dvs. använda sig av

$E(Y)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} y f_{X,Y}(x,y)dydx$

Enligt min bild i OP hade jag egentligen velat integrera mellan 

$E(Y)=\int_{y}^{\infty} \int_{-x}^{x} y f_{X,Y}(x,y)dydx$

men jag kan se varför

$E(Y)=\int_{0}^{\infty} \int_{-x}^{x} y f_{X,Y}(x,y)dydx$

är korrekt

och då får jag fram att $E(Y)=0$.

Okej, förstår. Ja, det borde gå bra, men jag tror du vill ha $|y|$ istället för $y$ i integrationsgränsen. 

Man kan se att $E[Y]=0$ direkt genom att titta på den marginella fördelningen. Kanske är det så här facit menar?

Enligt definitionen är

$f_Y(y) = \int f_{X,Y}(x,y)dx$,

där vi integrerar över alla möjliga värden på $X$ givet att $Y=y$.

För ett givet $y$ betyder villkoret $-x\leq y\leq x$ att $|y|\leq x$. Därför blir

$f_Y(y) = \int_{|y|}^\infty f_{X,Y}(x,y)dx$.

Alltså är

$f_Y(y) = \int_{|y|}^\infty \frac{e^{-x}}{2x} dx$.

Vi kan nu observera att

$f_Y(-y) = f_Y(y)$, eftersom $|-y| = |y|$, och inget annat beror av $y$. Alltså är den marginella sannolikheten $f_Y(y)$ symmetrisk kring $0$ och det följer att $E[Y] = 0$.

Låt $X$ och $Y$ vara två kontinuerliga slumpvariabler. För varje värde $y$ som $Y$ antar och för vilket $f_Y(y)\neq 0$ så kan vi definiera den betingade täthetsfunktionen som

$f_{X\mid Y}(x\mid y) := \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)}$.

Intuitivt beskriver denna funktion sannolikheten för utfallen för $X$ givet att $Y$ har antagit något känt värde $y$.

Det betingade väntevärdet av variabeln $X$ givet $Y$ kan betraktas antingen som en slumpvariabel, skriven $E[X\mid Y]$, eller som en funktion, som brukar skrivas $E[X\mid Y=y]$.

Den första bemärkelsen kan du tänka på som följande. När vi känner till värdet på $Y$ kommer $X$ att fördela sig på något sätt, och runt något viss väntevärde. Denna fördelning, och därav även väntevärdet av denna, kommer generellt att se olika ut beroende på vilket värde $Y$ antar. Det betingade väntevärdet är alltså en slumpvariabel. För varje värde $y$ som $Y$ antar så antar denna slumpvariabel värdet $E[X\mid Y=y]$, som formellt definieras som

$E[X\mid Y=y]:= \int_{-\infty}^\infty y f_{X\mid Y}(x\mid y) dx$.

Här är ett illustrerande exempel, dock i det diskreta fallet; taget från https://math.stackexchange.com/questions/23600/intuition-behind-conditional-expectation:

Tänk dig att $X$ är antalet prickar på en vanlig sexsidig tärning du kastar. Utan ytterligare information är $E[X] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6}=3.5$ vår bästa gissning för vad $X$ kommer bli för värde (bäst i bemärkelsen att om vi upprepar experimentet många gånger så kommer storleken på felen minimeras om vi hela tiden gissar 3.5).

Låt säga att jag ger dig lite mer information. Jag säger att $X$ är ett jämnt tal. Då blir plötsligt $E[X] = \frac{2+4+6}{2}=4$.

Säger jag att $X$ är ett udda tal, ja då blir $E[X] = 3$.

Vi ser att när jag ger dig ytterligare information så kan väntevärdet komma att ändras. Tänk nu på denna ytterligare information som någon abstrakt slumpvariabel $Y$. Väntevärdet av $X$ beror av vilken information som ges (vilket värde vi känner till som $Y$ antar). Exakt vad väntevärdet för $X$ blir avgörs av slumpen, eftersom $Y$ också är en slumpvariabel (så vilken information jag ger dig ser vi som en slump).

Kallar vi informationen "antalet prickar är jämnt" för $y_1$ och "antalet prickar är udda" för $y_2$ så kan vi beskriva situationen ovan som att $E[X\mid Y=y_1] = 4$ och $E[X\mid Y=y_2] = 3$. Den slumpvariabel som antingen antar värdet $4$ eller värdet $3$ på detta sätt skriver vi som $E[X\mid Y]$.

Okej, så $E[X\mid Y]$ är alltså en slumpvariabel, inte ett reellt tal (som t.ex. $E[X]$eller $E[Y]$ är). Vi kan därför betrakta denna slumpvariabels väntevärde: $E[E[X\mid Y]]$. Det visar sig att $E[E[X\mid Y]] = E[X]$. Intuitivt är talet $E[E[X \mid Y]]$ den bästa gissningen av vilket värde $E[X]$ är innan $Y$ har antagit något specifikt värde. Det förefaller då rimligt att den bästa gissningen då bara borde bli $E[X]$, vilket man också kan visa formellt (law of total expectation).

I uppgiften påstod jag att tätheten för $Y$ givet att $X=x$ (alltså tätheten för $Y\mid X=x$) var likformig på intervallet $[-x,x]$. Därför är väntevärdet $E[Y\mid X=x]=0$ för alla möjliga $x$. Det betyder alltså att oavsett vilken "information" vi får från $X$ (vilket värde $X$ antar) så fördelar sig $Y$ symmetriskt runt 0. Speciellt så antar slumpvariabeln $E[Y\mid X]$ aldrig något annat värde än 0. Därför måste väntevärdet $E[E[Y\mid X]]$ vara 0. Men detta väntevärde är detsamma som $E[Y]$ som vi just sett. Alltså är $E[Y]=0$.