Vad är approximativt sannolikheten för att minst 80 och högst 120 är felaktiga? (Matematik/Universitet/Sannolikhet och Statistik)

Det är för att man vill inkludera 80 som undre gräns. Man kan säga att intervallet 79.5 till 80.5 ”tillhör” heltalet 80. Så om vi nu vill inkludera 80 sätter vi som undre gräns 79.5 för att inkludera 80. Hade det istället varit att vi var intresserade av >80, ja då hade vi satt gränsen 80.5 för att exkludera 80

Hondel skrev:
Det är för att man vill inkludera 80 som undre gräns. Man kan säga att intervallet 79.5 till 80.5 ”tillhör” heltalet 80. Så om vi nu vill inkludera 80 sätter vi som undre gräns 79.5 för att inkludera 80. Hade det istället varit att vi var intresserade av >80, ja då hade vi satt gränsen 80.5 för att exkludera 80

Hm jag förstår att 80 tillhör i intervallet mellan 79.5 och 80.5 , men jag är inte riktigt med på logiken när man ska använda sig av 79.5 samt 80.5. Om det ska vara minst 80 så borde det vara P(X>=80) och då är det logiskt att det ska vara 80.5

Om $X$ endast antar heltalsvärden, så kan man tänka sig att $\{X \ge 80\}$ är samma mängd som $\{X > 79\}$ .

När $X$ approximeras med en normalfördelad stokastisk variabel $X_{\text{approx}}$ utan halvkorrektion så får man att:

$P\left(X \ge 80\right) \approx P\left(X_{\text{approx}} \ge 80\right) = - \Phi (\dfrac{80-\mu}{\sigma})$
$P\left(X > 79\right) \approx P\left(X_{\text{approx}} > 79\right) = - \Phi (\dfrac{79-\mu}{\sigma})$

Vänsterleden på dessa två rader är lika eftersom den diskreta variabeln $X$ aldrig antar några värden mellan 79 och 80. Högerleden är dock olika. Tanken med halvkorrektion är alltså att man tar värdet mittemellan de tänkbara approximationerna och det är 79.5 som ligger mittemellan här.

På liknande sätt kan man resonera att $\{X \le 120\} = \{X < 121\}$ då $X$ aldrig antar några decimalvärden mellan 120 och 121. När man approximerar $X$ med en kontinuerlig stokastisk variabel, så tar man värdet mittemellan, d.v.s. 120.5

Tillägg: 18 jun 2025 13:04

Det borde ha stått $1-\Phi(\ldots)$ i högerleden på de två raderna i punktlistan

destiny99 skrev:
Hondel skrev:
Det är för att man vill inkludera 80 som undre gräns. Man kan säga att intervallet 79.5 till 80.5 ”tillhör” heltalet 80. Så om vi nu vill inkludera 80 sätter vi som undre gräns 79.5 för att inkludera 80. Hade det istället varit att vi var intresserade av >80, ja då hade vi satt gränsen 80.5 för att exkludera 80

Hm jag förstår att 80 tillhör i intervallet mellan 79.5 och 80.5 , men jag är inte riktigt med på logiken när man ska använda sig av 79.5 samt 80.5. Om det ska vara minst 80 så borde det vara P(X>=80) och då är det logiskt att det ska vara 80.5

Du fick en bra förklaring ovan, men om du vill inkludera 80 så gör du ju tvärtom om du väljer 80.5. Rita en tallinje. Du är intresserad av X>=80. Om vi då säger att 79.5 till 80.5 tillhör 80, så skulle ju X>=80.5 exkludera området som tillhör 80, dvs som om du är intresserad av X>80 (strikt olikhet)

LuMa07 skrev:
Om $X$ endast antar heltalsvärden, så kan man tänka sig att $\{X \ge 80\}$ är samma mängd som $\{X > 79\}$ .

När $X$ approximeras med en normalfördelad stokastisk variabel $X_{\text{approx}}$ utan halvkorrektion så får man att:

$P\left(X \ge 80\right) \approx P\left(X_{\text{approx}} \ge 80\right) = - \Phi (\dfrac{80-\mu}{\sigma})$

$P\left(X > 79\right) \approx P\left(X_{\text{approx}} > 79\right) = - \Phi (\dfrac{79-\mu}{\sigma})$

Vänsterleden på dessa två rader är lika eftersom den diskreta variabeln $X$ aldrig antar några värden mellan 79 och 80. Högerleden är dock olika. Tanken med halvkorrektion är alltså att man tar värdet mittemellan de tänkbara approximationerna och det är 79.5 som ligger mittemellan här.

På liknande sätt kan man resonera att $\{X \le 120\} = \{X < 121\}$ då $X$ aldrig antar några decimalvärden mellan 120 och 121. När man approximerar $X$ med en kontinuerlig stokastisk variabel, så tar man värdet mittemellan, d.v.s. 120.5

Hm jag tror inte jag förstår tyvärr vad du menar med att X aldrig kan anta värden mellan 79 och 80 samt 120 och 121 när du sen säger att mellan 79 och 80 är det 79.5 samt 120.5. En annan sak som jag inte heller är med på är hur vänsterledet är lika för jag ser inte riktigt med ögonen att det är så. Btw ska det inte vara 1-phi för P(X>=80) samt P(X>79)?

Här nedan nämner du att det är samma mängd. Det är jag inte heller med på , jag kan dock se att 80 är med för alla heltal över 79 medan alla heltal till och med 80 är med för X>=80, inte säker om det är vad du menade med" samma mängd" ?

Jag har inte sagt att den diskreta stokatiska variabeln $X$ blir 79.5 respektive 120.5. Det blir den säkert inte.

Däremot kan den kontinuerliga stokastiska variabeln $X_{\text{approx}}$ anta vilka reella värden som helst (och här är det just 79.5 och 120.5 som är relevanta).

Du har helt rätt i att jag tappat bort ettan, så det borde ha varit $1 - \Phi(\ldots)$ i högerleden.

Låt oss gå tillbaka till definitionen av de olika symbolerna:

$X$ anger antalet defekta byggelement. Det är därmed meningsfullt att säga att det finns 79 respektive 80 defekta byggelement. Med all säkerhet kan man säga att det inte finns 79.1 eller 79.987465 eller 79.5 st defekta element. Den diskreta stokastiska variabeln $X$ antar alltså säkert inte värdena strängt mellan 79 och 80.
Om man säger att "antalet defekta element är större än 79", så betyder det exakt samma sak som att säga att "antalet defekta element är minst 80". Sannolikheterna för dessa händelser är alltså lika, d.v.s. det gäller att $P(X > 79) = P(X \ge 80)$
$X_{\text{approx}}$ är en normalfördelad stokastisk variabel. Normalfördelade variabler är kontinuerliga, så det finns ingen inbyggd inskränkning att det bara är heltal som $X_{\text{approx}}$ antar. Enligt centrala gränsvärdessatsen så visar det sig att $X_{\text{approx}}$ faktiskt får användas som en approximation av $X$ .

Halvkorrektion är ett möjligt sätt för att hantera diskrepansen mellan värdemängden av $X$ (bara heltal fr.o.m. 0 t.o.m. 1000) och värdemängden av $X_{\text{approx}}$ (alla reella tal)

Påståendet $\{X\ge 80\} = \{X > 79\}$ handlar om likheten av mängderna i utfallsrummet. I uppgiften har man dock aldrig specificerat vad som är utfallsrummet här. Vill man ha någon konkret tolkning av mängderna, så måste man först säga vilket utfallsrum man arbetar med. (Som Blom m.fl. själva skriver i sin bok, så är begreppet "stokastisk variabel" rätt olyckligt och själva utfallsrummet brukar hållas undangömd när man arbetar med stokastiska variabler)

LuMa07 skrev:
Jag har inte sagt att den diskreta stokatiska variabeln $X$ blir 79.5 respektive 120.5. Det blir den säkert inte.

Däremot kan den kontinuerliga stokastiska variabeln $X_{\text{approx}}$ anta vilka reella värden som helst (och här är det just 79.5 och 120.5 som är relevanta).

Du har helt rätt i att jag tappat bort ettan, så det borde ha varit $1 - \Phi(\ldots)$ i högerleden.

Låt oss gå tillbaka till definitionen av de olika symbolerna:

$X$ anger antalet defekta byggelement. Det är därmed meningsfullt att säga att det finns 79 respektive 80 defekta byggelement. Med all säkerhet kan man säga att det inte finns 79.1 eller 79.987465 eller 79.5 st defekta element. Den diskreta stokastiska variabeln $X$ antar alltså säkert inte värdena strängt mellan 79 och 80.

Om man säger att "antalet defekta element är större än 79", så betyder det exakt samma sak som att säga att "antalet defekta element är minst 80". Sannolikheterna för dessa händelser är alltså lika, d.v.s. det gäller att $P(X > 79) = P(X \ge 80)$

$X_{\text{approx}}$ är en normalfördelad stokastisk variabel. Normalfördelade variabler är kontinuerliga, så det finns ingen inbyggd inskränkning att det bara är heltal som $X_{\text{approx}}$ antar. Enligt centrala gränsvärdessatsen så visar det sig att $X_{\text{approx}}$ faktiskt får användas som en approximation av $X$ .

Halvkorrektion är ett möjligt sätt för att hantera diskrepansen mellan värdemängden av $X$ (bara heltal fr.o.m. 0 t.o.m. 1000) och värdemängden av $X_{\text{approx}}$ (alla reella tal)

Påståendet $\{X\ge 80\} = \{X > 79\}$ handlar om likheten av mängderna i utfallsrummet. I uppgiften har man dock aldrig specificerat vad som är utfallsrummet här. Vill man ha någon konkret tolkning av mängderna, så måste man först säga vilket utfallsrum man arbetar med. (Som Blom m.fl. själva skriver i sin bok, så är begreppet "stokastisk variabel" rätt olyckligt och själva utfallsrummet brukar hållas undangömd när man arbetar med stokastiska variabler)

Tack! Jag är nu med på att man menade den kontinuerliga stokastiska variabeln X_approx när man syftar på 79.5 och 120.5 och inte den diskreta stokastiska variabeln X där det inte antas decimalvärden mellan 79 och 80.