Vad är en nollmängd - ENDAST relaterad till dess rand och kvadrerar

Din länk i fråga 2 funkar inte, och du skall FORTFARANDE bara ha en fråga/tråd, inte två. Om du fortsätter bryta mot Pluggakutens regler riskerar du att bli avstängd. /moderator

sannakarlsson1337 skrev:

Hur kan en rand vara en nollmängd?

Alla rander är inte nollmängder. T.ex. så är ges randen av de rationella talen $\mathbb{Q}$ (som är en nollmängd) i $\mathbb{R}$ av $\mathbb{R}$ självt. Men om du t.ex. betraktar enhetsskivan i $\mathbb{R}^2$ så kommer randen till den att vara unionen av grafen hos två kontinuerliga funktioner, nämligen $f(x) = +\sqrt{1-x^2}$ och $g(x) = -\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \leq x \leq 1$). Då säger lemmat du hänvisar till att grafen till såväl f som g är nollmängder, varpå unionen av dessa grafer är en nollmängd.

Rent intuitivt så kan du betrakta en nollmängd i $\mathbb{R}^2$ som någonting som inte har någon area. En "snäll" kurva så som en cirkel har väl ingen area att tala om direkt?

Smaragdalena skrev:

Din länk i fråga 2 funkar inte, och du skall FORTFARANDE bara ha en fråga/tråd, inte två. Om du fortsätter bryta mot Pluggakutens regler riskerar du att bli avstängd. /moderator

Jag förstår inte vad det är som inte gör så att dom här trådarna håller ihop? jag frågar, hur kan en rand va en nollmängd, en rands nollmängds är kvadrerbar, vad betyder då att den är kvadrerbar.?

om jag frågar: hur mycket är 10kr? och kan man köpa för tio st 1kr? 
ska jag göra en tråd för hut mycket är 10kr, och en annan tråd för vad kan man köpa för tio st 1kronor?

Freewheeling skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

Hur kan en rand vara en nollmängd?

Alla rander är inte nollmängder. T.ex. så är ges randen av de rationella talen $\mathbb{Q}$ (som är en nollmängd) i $\mathbb{R}$ av $\mathbb{R}$ självt. Men om du t.ex. betraktar enhetsskivan i $\mathbb{R}^2$ så kommer randen till den att vara unionen av grafen hos två kontinuerliga funktioner, nämligen $f(x) = +\sqrt{1-x^2}$ och $g(x) = -\sqrt{1-x^2}$ ($-1 \leq x \leq 1$). Då säger lemmat du hänvisar till att grafen till såväl f som g är nollmängder, varpå unionen av dessa grafer är en nollmängd.

Rent intuitivt så kan du betrakta en nollmängd i $\mathbb{R}^2$ som någonting som inte har någon area. En "snäll" kurva så som en cirkel har väl ingen area att tala om direkt?

och hur kommer det sig att man kan ta bort och lägger till saker i integranden pga det här? pga den är kvaderbar, har en nollmängd-

Jag vet inte vad du menar med "ta bort och lägger till saker i integranden". Länken till din bild funkar ej, känns som att jag missar en del av kontexten här.

I två dimensioner: En linje är en matematisk abstraktion som endast har en dimension (längd). Randen är en linje, d v s den har bredden 0.  Arean av något med bredden 0 är 0. Alltså har randen arean 0.

Smaragdalena skrev:

I två dimensioner: En linje är en matematisk abstraktion som endast har en dimension (längd). Randen är en linje, d v s den har bredden 0.  Arean av något med bredden 0 är 0. Alltså har randen arean 0.

hmm.. okej. men om jag får vara lite jobbigt nu, eller något.

en bredd, försöker tänka matematisk nu.. har den alltid bredd 0? tänk om det är en jättetjock linje?!

Du kan helt ignorera nollmängder och kvadrerbara ränder. Du måste gå vidare med resten av kursen, de kommer inte fråga om detta på tentan. 

Återkom till detta när du är klar med kursen, det är verkligen en liten parantes.

Man kan inte ha en "jättetjock linje", antingen är det en rektangel eller en linje.

-------------------------------------------

Jag kan översätta bilden från din bok till vanlig svenska:

N är en mängd, den är rand till D. D kallas kvadrerbar om N=∂D är en nollmängd. Men vad betyder nollmängd?

Ta randen. Ta en mängd rektanglar, M stycken rektanglar. ∂D är en strikt delmängd av unionen av alla dessa rektanglar, det betyder att rektanglarna "täcker över" ∂D, plus lite bitar runt omkring. Den där stora ∪ kan du tolka som man tolkar summateknet, fast du tar union av alla rektanglarna (från k=1 till k=M). Nu kommer slutklämmen, den är viktigast. För varje epsilon (den får vara exakt hur liten som helst, typ 0,0000001) så går det att fixa ett gäng rektanglar som uppfyller ovanstående samtidigt som summan av deras areor är mindre än epsilon. Dessa rektanglar kan alltså göras oändligt små (men fler) och täcka över randen utan att någon del av randen utelämnas. 

Detta är väldigt liknande den finare och finare indelningen man gör när man approximerar en integral med smalare och smalare rektanglar. En stor skillnad är däremot att i sammanhanget med nollmängder så tar man inga gränsvärden, man säger bara att det finns en godtyckligt fin indelning i rektanglar.

Qetsiyah skrev:

Man kan inte ha en "jättetjock linje", antingen är det en rektangel eller en linje.

Jag kan översätta bilden från din bok till vanlig svenska:

N är en mängd, den är rand till D. D kallas kvadrerbar om N=∂D är en nollmängd. Men vad betyder nollmängd?

Ta randen. Ta en mängd rektanglar, M stycken rektanglar. ∂D är en strikt delmängd av unionen av alla dessa rektanglar, det betyder att rektanglarna "täcker över" ∂D, plus lite bitar runt omkring. Den där stora ∪ kan du tolka som man tolkar summateknet, fast du tar union av alla rektanglarna (från k=1 till k=M). Nu kommer slutklämmen, den är viktigast. För varje epsilon (den får vara exakt hur liten som helst, typ 0,0000001) så går det att fixa ett gäng rektanglar som uppfyller ovanstående samtidigt som summan av deras areor är mindre än epsilon. Dessa rektanglar kan alltså göras oändligt små (men fler) och täcka över randen utan att någon del av randen utelämnas. 

Detta är väldigt liknande den finare och finare indelningen man gör när man approximerar en integral med smalare och smalare rektanglar. En stor skillnad är däremot att i sammanhanget med nollmängder så tar man inga gränsvärden, man säger bara att det finns en godtyckligt fin indelning i rektanglar.

∂D = delta d? = derivata?

sannakarlsson1337 skrev:

∂D = delta d? = derivata?

NEJ!

Qetsiyah skrev:

sannakarlsson1337 skrev:

∂D = delta d? = derivata?

NEJ!

det e braa ett sätt att berätta att det är en rand av området D??

men kan ngn berätta varför inte det här är kvadrerbar?

Det är typ för att... Ser du hur cirkeln blir sicksackigare och sicksackigare? Om man ritar några fler (oändligt många) kommer denna mängd har en oändligt konstig och sicksackig rand som inte går att täcka över med oändligt små rektanglar.

det e braa ett sätt att berätta att det är en rand av området D??

Yes

Qetsiyah skrev:

Det är typ för att... Ser du hur cirkeln blir sicksackigare och sicksackigare? Om man ritar några fler (oändligt många) kommer denna mängd har en oändligt konstig och sicksackig rand som inte går att täcka över med oändligt små rektanglar.

det e braa ett sätt att berätta att det är en rand av området D??

Yes

Pallar du förklara hur man "Kan se" att bilderna ovan i mitt inlägg, inte är kvadrerbara?

För din skull pallar jag vad som helst :DDDDDDD

Ja, att de är väldigt äckliga, som weierstrass funktion. På mattespråk kallas det att den är "patologisk".

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Weierstrassfunktionen

Qetsiyah skrev:

För din skull pallar jag vad som helst :DDDDDDD

Ja, att de är väldigt äckliga, som weierstrass funktion. På mattespråk kallas det att den är "patologisk".

https://sv.m.wikipedia.org/wiki/Weierstrassfunktionen

hehe sött :) 

tack, känner igen den :)