Vad är en stationär punkt och kvadratisk form? (Matematik/Universitet/Flervariabelanalys)

Sykey skrev:
Jag förstår inte vad en stationär punkt är eller hur man anger funktionens karaktär m.h.a kvadratisk form. Jag antar att det är andra derivatan eftersom den brukar ange en funktions karaktär men idk.

Stationär punkt (x0,y0) har

f'x(x0,y0)=f'y(x0,y0)=0

Sedan måste man bestämma den kvadratiska formen (som kan bli stökig) för att säga om det är ett min, max eller sadelpunkt. Det finns säkert riklig teori i din bok om detta.

Trinity2 skrev:
Sykey skrev:
Jag förstår inte vad en stationär punkt är eller hur man anger funktionens karaktär m.h.a kvadratisk form. Jag antar att det är andra derivatan eftersom den brukar ange en funktions karaktär men idk.

Stationär punkt (x0,y0) har

f'x(x0,y0)=f'y(x0,y0)=0

Sedan måste man bestämma den kvadratiska formen (som kan bli stökig) för att säga om det är ett min, max eller sadelpunkt. Det finns säkert riklig teori i din bok om detta.

Aha så derivatan är 0 och därför blir punkten en stationär punkt? Jag fattar inte är inte egentligen alla punkter en funktion bestämda (i rummet) och därmed alla stationära? Punkten rör ju inte på sig.

Ahh, men vad är den kvadratiska formen för något. Menar de när man använder sig av kvadratkomplettering?

Sykey skrev:
Trinity2 skrev:
Sykey skrev:
Jag förstår inte vad en stationär punkt är eller hur man anger funktionens karaktär m.h.a kvadratisk form. Jag antar att det är andra derivatan eftersom den brukar ange en funktions karaktär men idk.

Stationär punkt (x0,y0) har

f'x(x0,y0)=f'y(x0,y0)=0

Sedan måste man bestämma den kvadratiska formen (som kan bli stökig) för att säga om det är ett min, max eller sadelpunkt. Det finns säkert riklig teori i din bok om detta.

Aha så derivatan är 0 och därför blir punkten en stationär punkt? Jag fattar inte är inte egentligen alla punkter en funktion bestämda (i rummet) och därmed alla stationära? Punkten rör ju inte på sig.

Ahh, men vad är den kvadratiska formen för något. Menar de när man använder sig av kvadratkomplettering?

Stationär punkt är en term, det är inte den vanliga svenska definitionen

AI, så tag det för vad det är

Jag vet ej historiken bakom termen, men det heter stationery point på utrikiska

https://en.wikipedia.org/wiki/Stationary_point

så det är bara att nöta in termen, och förstå den matematiska innebörden av den, tyvärr.

Likt stat.pkt. är kvadrisk form ett annat begrepp

https://sv.wikipedia.org/wiki/Kvadratisk_form

Det finns en del termer som man bara måste nöta. in.

Ah okej då återkommer jag efter jag förstått båda två lite bättre hehe! Tack så mycket!

Okej jag har läst mer om stationära punkter och kvadratisk form. My goodness, det är mycket att hålla koll på. Q(x) (som står för Quadratic formula) är termen med de partiella derivatorna i andra ordning av funktionen f(a+h, b+k) = f(x,y) btw. Jag visste inte att h=x-a och k=y-b, byter vi ut får vi f(x,y) vilket är coolt. Men den är med i formeln för taylorformeln/utveckling som lyder sådan:

f(a+h,b+k)= f(a,b) + Q(x) + O( $|{(h, k)}^{3}|$ ) eller så är O-resttermen bara $O (|h^{3}|)$ , lite osäker men aja det är ju den lilla extra längden man går så det borde ju vara det jag skrev först, Ahh nej vänta det man kan skriva på det andra sättet om h är en vektor alltså. $O (|{\vec{h}}^{3}|)$ , där h=(h,k), (FÖR VI ÄR I ORDNING/GRAD 2 och därför bara två termer). Men längden är i alla fall $\sqrt{h^{2} + k^{2}} = |\vec{h}|$ .

Ja så Q(x) = $\frac{1}{2}$ (Ah²+2hkB+Ck²) (Observera att det är skrivet på samma sätt som första kvadreringsregeln (a+b)² = a²+ 2ab+ b²)

Där:

A=f''_xx(a,b),

B=f''_xy(a,b),

C=f''_yy (a,b).

Sen går detta att användas för vektorvärda funktioner istället för reellvärda (samma sak som skalärvärda eftersom det är ett tal och tal tillhör reella tal).

Note: Jag har bara valt att att k=2, alltså nu menar jag att ordningen är 2 av taylorpolynomet i uttrycket för polynomutveckling (då sigma ( $\sum_{}^{}$ ) ingick och tecknet xi ( $ξ$ ), felmarginalen, ingick))