Vad är Im av uttrycket? (Matematik/Universitet)

Vi kanske kan börja med två enklare frågor:

Vad är $\mathrm{Im}(3+7i)$ ?
Vad är $\mathrm{Im}(5(i+2)-3i)$ ?

Om du lyckas lösa dem så är nästa steg att fundera på varför din fråga fråga är svårare, och om det finns något smart trick för att hantera den här extra svårigheten?

im(3+7i)=7i=7

im(5(i+2)-3i)=2i=2

Mycket bra! Då verkar det som att du har fattat vad man behöver göra för att beräkna imaginärdelen:

Steg 1: Skriv om det komplexa talet på formen $z=a+bi$ .

Steg 2: Konstatera att $\mathrm{Im}(z)=b$ .

Skulle du kunna göra samma sak med din uppgift? Vad är det som gör att den känns svårare än de uppgifterna du fick av mig?

Jag tror att det som gör att din uppgift känns lite svår är att talet $i$ dyker upp i nämnarna.

Lyckligtvis finns det ett trick som gör så att man alltid kan få bort $i$ från nämnaren på ett komplext tal... Kommer du ihåg hur man gör?

Visa spoiler

Man förlänger med konjugatet av nämnaren och använder sedan konjugatregeln:

Exempelvis är $\textstyle\frac{4}{3+2i}=\frac{4}{3+2i}\cdot {\color{blue}\frac{3-2i}{3-2i}}=\frac{4(3-2i)}{(3+2i)(3-2i)}{\color{red}=}\frac{12-8i}{3^2-(2i)^2}=\frac{12-8i}{9+4}=\frac{12-8i}{13}=\frac{12}{13}-\frac{8}{13}i$ .

Testa nu att applicera det tricket på både $\frac{i}{i-3}$ och $\frac{i-3}{i}$ . Vad får du då?

Okej, då kommer jag fram till: $\frac{1}{10} (1 - 3 i) + 1 + 3 i$ . Går det att förenkla ytterligare?

Snyggt jobbat! Nu har du klarat den svåra biten :)

Det som är kvar nu är att multiplicera in faktorn $\frac{1}{10}$ , och sedan samla ihop termerna utan $i$ för sig, och termerna med $i$ för sig.

Vad får du då?