Vad är Lyapunov funktion för något?
Hej!
Vad är egentligen Lyapunov funktion för något? Jag har försökt att förstå vad Wikipedia säger, men jag kan inte accessionera till något verkligt så jag förstår inte vad det används till. Jag har hört att det används inom reglerteknik - varför?
För att kolla om systemet x(t) är stabilt (alltså inte sticker iväg mot oändligheten) räcker det att hitta en positiv funktion L(x) sådan att dL/dt<0.
Henrik Eriksson skrev :För att kolla om systemet x(t) är stabilt (alltså inte sticker iväg mot oändligheten) räcker det att hitta en positiv funktion L(x) sådan att dL/dt<0.
Tack för svaret! Men räcker det inte att man hittat systemets poler istället för att avgöra om systemet är stabilt?
Jo, för linjära system räcker det. Men en Lyapunovfunktion kan nog existera även när vissa poler ligger på imaginära axeln.
Henrik Eriksson skrev :Jo, för linjära system räcker det. Men en Lyapunovfunktion kan nog existera även när vissa poler ligger på imaginära axeln.
Men det går ju utmärkt att hitta polerna när dem ligger på den imaginära axeln igenom det(s*I-A) = 0 där A är systemets matris, I är diagonalmatrisen och s är en vektor som innehåller polerna. Då kan man få imaginära tal som är polerna.
Eller menar du "ligger på imaginära axeln" som att de absolut ligger endast på "y-axeln" men inte "x-axeln"?
Dessutom är väll det endast linjära system som man använder inom reglerteknik? Är det inte linjärt så får man linjärisera det.
Imaginära axeln är y-axeln. Icke-linjära system är vanliga i reglertekniken. Lokalt kan man linearisera.
.jpg?width=80&crop=0,0,80,80)
Heretic skrev :Henrik Eriksson skrev :Jo, för linjära system räcker det. Men en Lyapunovfunktion kan nog existera även när vissa poler ligger på imaginära axeln.
Men det går ju utmärkt att hitta polerna när dem ligger på den imaginära axeln igenom det(s*I-A) = 0 där A är systemets matris, I är diagonalmatrisen och s är en vektor som innehåller polerna. Då kan man få imaginära tal som är polerna.
Eller menar du "ligger på imaginära axeln" som att de absolut ligger endast på "y-axeln" men inte "x-axeln"?
Dessutom är väll det endast linjära system som man använder inom reglerteknik? Är det inte linjärt så får man linjärisera det.
Ett viktigt resultat för i liapunovteori är att du kan bevisa det allmänt och sedan använda det utan att bry dig om hur huruvida det gäller för ett specialfall. Ibland räcker det alltså att bara hitta en liapunovfunktion för att bevisa stabilitet.
I reglerteknik så kan du alltså behandla allt numeriskt så det är ett ganska ointerssant ämne. I ren teoretisk matematik så är liapunovteori ett väldigt vackert verktyg.
emmynoether skrev :Heretic skrev :Henrik Eriksson skrev :Jo, för linjära system räcker det. Men en Lyapunovfunktion kan nog existera även när vissa poler ligger på imaginära axeln.
Men det går ju utmärkt att hitta polerna när dem ligger på den imaginära axeln igenom det(s*I-A) = 0 där A är systemets matris, I är diagonalmatrisen och s är en vektor som innehåller polerna. Då kan man få imaginära tal som är polerna.
Eller menar du "ligger på imaginära axeln" som att de absolut ligger endast på "y-axeln" men inte "x-axeln"?
Dessutom är väll det endast linjära system som man använder inom reglerteknik? Är det inte linjärt så får man linjärisera det.
Ett viktigt resultat för i liapunovteori är att du kan bevisa det allmänt och sedan använda det utan att bry dig om hur huruvida det gäller för ett specialfall. Ibland räcker det alltså att bara hitta en liapunovfunktion för att bevisa stabilitet.
I reglerteknik så kan du alltså behandla allt numeriskt så det är ett ganska ointerssant ämne. I ren teoretisk matematik så är liapunovteori ett väldigt vackert verktyg.
Jag brukar till 90% använda SymPy när jag gör mina beräkningar och det har hänt att jag har fått poler av imaginära tal. Det kanske duger gott och väl att låta SymPy avgöra polerna?
Så Lyapunov handlar mest bara om att bevisa att systemet är stabilt - teoretiskt?
Henrik Eriksson skrev :Imaginära axeln är y-axeln. Icke-linjära system är vanliga i reglertekniken. Lokalt kan man linearisera.
Okej. Men oftast brukar man linjärisera ODE:er då en tillståndsmodell sällan är av PDE:er?
Ickelinjära termer i ODE är vanligt förekommande. Jag instämmer för övrigt i vad emmynoether skrev.
Henrik Eriksson skrev :Ickelinjära termer i ODE är vanligt förekommande. Jag instämmer för övrigt i vad emmynoether skrev.
Jo. Men till största del brukar man väll linjärisera ODE:er så fort man får chansen?
Då får man ett linjärt system som approximerar verkligheten i ett litet område.
Det är inte alltid kan man göra en stabilitetsanalys genom att linjärisera i en punkt. För en vanlig matematisk pendel kan du exempevis inte göra det, inte för "predater-prey"-problemet heller. Men du kan använda en Liapunovfunktion för det.
Liapunovfunktioner kan även användas för att studera system som inte ens är lokalt linjära, dock är det inget man brukar gå igenom i en första differentialekvationskurs.
emmynoether skrev :Det är inte alltid kan man göra en stabilitetsanalys genom att linjärisera i en punkt. För en vanlig matematisk pendel kan du exempevis inte göra det, inte för "predater-prey"-problemet heller. Men du kan använda en Liapunovfunktion för det.
Liapunovfunktioner kan även användas för att studera system som inte ens är lokalt linjära, dock är det inget man brukar gå igenom i en första differentialekvationskurs.
Så man kan inte kolla om systemet är stabilt om man har en diffrentialekvation för en pendel?
Heretic skrev :emmynoether skrev :Det är inte alltid kan man göra en stabilitetsanalys genom att linjärisera i en punkt. För en vanlig matematisk pendel kan du exempevis inte göra det, inte för "predater-prey"-problemet heller. Men du kan använda en Liapunovfunktion för det.
Liapunovfunktioner kan även användas för att studera system som inte ens är lokalt linjära, dock är det inget man brukar gå igenom i en första differentialekvationskurs.
Så man kan inte kolla om systemet är stabilt om man har en diffrentialekvation för en pendel?
Testa ställ upp ett system för en odämpad pendel och analysera genom att linjärisera så får du se vilket läge du hamnar i rent matematiskt. Fysiskt så är det ju helt glasklart att du har en stabil punkt när pendeln pekar rakt ner och en instabil punkt när pendeln pekar rakt upp, men det gör inte att visa matematiskt genom att bara linjärisera.
emmynoether skrev :Heretic skrev :emmynoether skrev :Det är inte alltid kan man göra en stabilitetsanalys genom att linjärisera i en punkt. För en vanlig matematisk pendel kan du exempevis inte göra det, inte för "predater-prey"-problemet heller. Men du kan använda en Liapunovfunktion för det.
Liapunovfunktioner kan även användas för att studera system som inte ens är lokalt linjära, dock är det inget man brukar gå igenom i en första differentialekvationskurs.
Så man kan inte kolla om systemet är stabilt om man har en diffrentialekvation för en pendel?
Testa ställ upp ett system för en odämpad pendel och analysera genom att linjärisera så får du se vilket läge du hamnar i rent matematiskt. Fysiskt så är det ju helt glasklart att du har en stabil punkt när pendeln pekar rakt ner och en instabil punkt när pendeln pekar rakt upp, men det gör inte att visa matematiskt genom att bara linjärisera.
Alltså är Lyapunov helt enkelt en bättre metod för att hitta stabilitet hos ett system, än metoden det(s*I-A)=0 där I är diagonalmatris och A är systemets matris och s är en vektor med poler?
Heretic skrev :emmynoether skrev :Heretic skrev :emmynoether skrev :Det är inte alltid kan man göra en stabilitetsanalys genom att linjärisera i en punkt. För en vanlig matematisk pendel kan du exempevis inte göra det, inte för "predater-prey"-problemet heller. Men du kan använda en Liapunovfunktion för det.
Liapunovfunktioner kan även användas för att studera system som inte ens är lokalt linjära, dock är det inget man brukar gå igenom i en första differentialekvationskurs.
Så man kan inte kolla om systemet är stabilt om man har en diffrentialekvation för en pendel?
Testa ställ upp ett system för en odämpad pendel och analysera genom att linjärisera så får du se vilket läge du hamnar i rent matematiskt. Fysiskt så är det ju helt glasklart att du har en stabil punkt när pendeln pekar rakt ner och en instabil punkt när pendeln pekar rakt upp, men det gör inte att visa matematiskt genom att bara linjärisera.
Alltså är Lyapunov helt enkelt en bättre metod för att hitta stabilitet hos ett system, än metoden det(s*I-A)=0 där I är diagonalmatris och A är systemets matris och s är en vektor med poler?
Bättre och bättre... Einstein sade: gör det så enkelt som möjligt, men inte enklare.
Om det går att linjärisera och klassificera jämviktspunkter på det sättet hade jag nog gjort de alla dagar i veckan, en lyapunovfunktion kan vara bökig att hitta. Men ibland går det inte att bara linjärisera (som för en pendel) och då måste man göra på något annat sätt, t ex genom att hitta en lyapunovfunktion osv..
Men lyapunov's teori är kraftfullare och om du anser det som bättte så är svaret ja.
