Vad är sannolikheten att minst 3 av dem fyller år på samma dag?

AI is your friend

och här är en generalisering av problemet;

https://math.stackexchange.com/questions/485462/birthday-problem-for-3-people

Trinity2 skrev:

AI is your friend

och här är en generalisering av problemet;

https://math.stackexchange.com/questions/485462/birthday-problem-for-3-people

Ok, så det finns alltså en youtube video som förklarar detta problem b) då? Finns det typ ingen enklare eller annan  sätt att lösa uppgiften på ? Jag förstod verkligen inte lösningen på facit.

destiny99 skrev:

Trinity2 skrev:

AI is your friend

 

......

och här är en generalisering av problemet;

https://math.stackexchange.com/questions/485462/birthday-problem-for-3-people

Ok, så det finns alltså en youtube video som förklarar detta problem b) då? Finns det typ ingen enklare eller annan  sätt att lösa uppgiften på ? Jag förstod verkligen inte lösningen på facit.

Hur ser facit ut?

Visst kan man få lösningen serverad, och titta på den. Kanske tänker man då att "det där skulle jag nog ha fixat själv".

Bättre är nog att verkligen fundera.

En jättebra början är att först lösa ett liknande men mycket enklare problem:

Hur stor är sannolikheten att du och jag (två personer) har samma födelsedag?

Sedan fortsätter vi.

Bubo skrev:

Visst kan man få lösningen serverad, och titta på den. Kanske tänker man då att "det där skulle jag nog ha fixat själv".

Bättre är nog att verkligen fundera.

En jättebra början är att först lösa ett liknande men mycket enklare problem:

Hur stor är sannolikheten att du och jag (två personer) har samma födelsedag?

Sedan fortsätter vi.

Hm jag har faktiskt ingen aning. Men sannolikheten att varje person fyller år någon dag på året under ett helt år väl 1/365 om man tänker på ledningen.

Du fyller ju år en viss dag. Om vi har samma födelsedag, så fyller ju jag också år just den dagen, inte någon av de andra 364 dagarna.

Hur stor är sannolikheten att du och jag har samma födelsedag?

Bubo skrev:

Du fyller ju år en viss dag. Om vi har samma födelsedag, så fyller ju jag också år just den dagen, inte någon av de andra 364 dagarna.

Hur stor är sannolikheten att du och jag har samma födelsedag?

det är väl 1/365 då? det är lika sannolikhet att vi fyller år samma dag. Om vi ej har samma födelsedag och du fyller år tex 15 november och jag 21 oktober, då blir det ju 364/365

Ja. Jättebra - nu har vi grunden för att lösa alltihop. Vi fortsätter:

Om du och jag har olika födelsedagar, hur stor är då sannolikheten att du, jag och Trinity2 har olika födelsedagar?

Edit: Det viktiga här är att sannolikheten att du och jag har olika födelsedagar är 364/365

Bubo skrev:

Ja. Jättebra - nu har vi grunden för att lösa alltihop. Vi fortsätter:

Om du och jag har olika födelsedagar, hur stor är då sannolikheten att du, jag och Trinity2 har olika födelsedagar?

 

Edit: Det viktiga här är att sannolikheten att du och jag har olika födelsedagar är 364/365

Det blir ju ( 364/365)³ för alla 3 personer. 

Nej. Vi får tänka en person i taget.

Du får börja, och vi säger att du fyller år 21 oktober.

Sedan är det min tur. Sannolikheten att jag INTE fyller år 21 oktober är 364/365.

Sannolikheten att två personer har olika födelsedag är alltså 364/365.

Vad gäller då för den tredje personen? Han får inte fylla år på din födelsedag, och inte heller på min födelsedag.

Bubo skrev:

Nej. Vi får tänka en person i taget.

Du får börja, och vi säger att du fyller år 21 oktober.

Sedan är det min tur. Sannolikheten att jag INTE fyller år 21 oktober är 364/365.

Sannolikheten att två personer har olika födelsedag är alltså 364/365.

Vad gäller då för den tredje personen? Han får inte fylla år på din födelsedag, och inte heller på min födelsedag.

Det gäller att 363/365 för den tredje personen.

Hur löste du den första deluppgiften? 

Det finns några formler för hur man kan välja $k$ element från en population av $n$ element som brukar ingå i kombinatoriken. Man skiljer på ordning (med eller utan ordning) och återläggning (med eller utan återläggning).

Att välja ut 10 unika födelsedagar (utan återläggning) av 365 kan göras på

$(360)_{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $(n)_k$

Att välja 10 födelsedagar (med återläggning) kan göras på 

$365^{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $n^k$.

Med dessa formler blir lösningen till a) 

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}=1-\frac{364\cdot363\cdot \dots \cdot 356}{365^9}\approx 0.117$

Övriga formler man brukar lära sig utantill är 

Utan återläggning, utan hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n}{k}$

Med återläggning, med hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$

D4NIEL skrev:

Hur löste du den första deluppgiften? 

Det finns några formler för hur man kan välja $k$ element från en population av $n$ element som brukar ingå i kombinatoriken. Man skiljer på ordning (med eller utan ordning) och återläggning (med eller utan återläggning).

Att välja ut 10 unika födelsedagar (utan återläggning) av 365 kan göras på

$(360)_{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $(n)_k$

Att välja 10 födelsedagar (med återläggning) kan göras på 

$365^{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $n^k$.

Med dessa formler blir lösningen till a) 

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}=1-\frac{364\cdot363\cdot \dots \cdot 356}{365^9}\approx 0.117$

I a) så tänkte jag på komplementet P(Minst 2 personer har födelsedag samma dag)=1-P(10 personer har olika födelsedagar) och då blir det ju som det jag och bubo var inne på det här med att varje person inte ska ha samma födelsedag som en själv. Jag tänkte inte i termer av dessa formler alls.

D4NIEL skrev:

Hur löste du den första deluppgiften? 

Det finns några formler för hur man kan välja $k$ element från en population av $n$ element som brukar ingå i kombinatoriken. Man skiljer på ordning (med eller utan ordning) och återläggning (med eller utan återläggning).

Att välja ut 10 unika födelsedagar (utan återläggning) av 365 kan göras på

$(360)_{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $(n)_k$

Att välja 10 födelsedagar (med återläggning) kan göras på 

$365^{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $n^k$.

Med dessa formler blir lösningen till a) 

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}=1-\frac{364\cdot363\cdot \dots \cdot 356}{365^9}\approx 0.117$

Övriga formler man brukar lära sig utantill är 

Utan återläggning, utan hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n}{k}$

Med återläggning, med hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$

Hur vet man att det är det är senare formel (n+k-1 k) man ska använda till a) problemet? Jag antar att n=365 och k=10?

Nej, man använder formlerna $(n)_k$ och $n^k$ i a). Att det blir lite andra siffror beror på att vi kan förkorta bort 365 en gång. 

$n=365$

$k=10$

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}\approx 0.117$

Du tänker helt rätt i att det är P(Minst 2 personer har födelsedag samma dag) = 1-P(10 personer har olika födelsedagar). Formlerna för hur många sätt man kan välja $k$ element från $n$ element kan göra det lättare att snabbt skriva upp vad P(10 personer har olika födelsedagar) egentligen blir. Då blir b) uppgiften också mycket mer kompakt och enklare (tycker jag). Det brukar också finnas snabbfunktioner på moderna miniräknare för att räkna antalet kombinationer / permutationer.

Men om ni inte gått igenom de olika formlerna för hur man väljer $k$ element från en population av $n$ element är det kanske mer förvirrande än hjälpsamt.

D4NIEL skrev:

Nej, man använder formlerna $(n)_k$ och $n^k$ i a). Att det blir lite andra siffror beror på att vi kan förkorta bort 365 en gång. 

$n=365$

$k=10$

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}\approx 0.117$

Du tänker helt rätt i att det är P(Minst 2 personer har födelsedag samma dag) = 1-P(10 personer har olika födelsedagar). Formlerna för hur många sätt man kan välja $k$ element från $n$ element kan göra det lättare att snabbt skriva upp vad P(10 personer har olika födelsedagar) egentligen blir. Då blir b) uppgiften också mycket mer kompakt och enklare (tycker jag). Det brukar också finnas snabbfunktioner på moderna miniräknare för att räkna antalet kombinationer / permutationer.

Men om ni inte gått igenom de olika formlerna för hur man väljer $k$ element från en population av $n$ element är det kanske mer förvirrande än hjälpsamt.

Jag tror inte jag känner igen (n)_k som du skriver.  Så vi ska använda (n+k-1 k) i a) för att det har med återläggning med hänsyn till ordning att göra? Hur vet man att det har med det att göra? Hur vet man att n=365 och k=10? Du säger att vi väljer k element från en population ur n element, vad betyder det i vårt problem?

destiny99 skrev:

Bubo skrev:

Nej. Vi får tänka en person i taget.

Du får börja, och vi säger att du fyller år 21 oktober.

Sedan är det min tur. Sannolikheten att jag INTE fyller år 21 oktober är 364/365.

Sannolikheten att två personer har olika födelsedag är alltså 364/365.

Vad gäller då för den tredje personen? Han får inte fylla år på din födelsedag, och inte heller på min födelsedag.

Det gäller att 363/365 för den tredje personen.

Det här är väl inte den enda svaret på b) ?

D4NIEL skrev:

Hur löste du den första deluppgiften? 

Det finns några formler för hur man kan välja $k$ element från en population av $n$ element som brukar ingå i kombinatoriken. Man skiljer på ordning (med eller utan ordning) och återläggning (med eller utan återläggning).

Att välja ut 10 unika födelsedagar (utan återläggning) av 365 kan göras på

$(360)_{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $(n)_k$

Att välja 10 födelsedagar (med återläggning) kan göras på 

$365^{10}$ sätt. Det allmänna uttrycket är $n^k$.

Med dessa formler blir lösningen till a) 

$1-\frac{(n)_k}{n^k}=1-\frac{(365)_{10}}{365^{10}}=1-\frac{364\cdot363\cdot \dots \cdot 356}{365^9}\approx 0.117$

Övriga formler man brukar lära sig utantill är 

Utan återläggning, utan hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n}{k}$

Med återläggning, med hänsyn till ordning

$\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$

Är du säker på att det är med hänsyn till ordning? Jag hittade den där formeln men det är utan hänsyn till ordning. 

Ja, det är stämmer, jag skrev fel i hastigheten. Den sista formeln är utan hänsyn till ordning, med återläggning

Det finns alltså fyra formler att lära sig.

Men i a) använder du alltså med hänsyn till ordning, utan återläggning, dvs  $\displaystyle (n)_k$. Du behöver också det totala antalet permutationer, vilket är med hänsyn till ordning, med återläggning, dvs $\displaystyle n^k$

Utan hänsyn till ordning, med återläggning dvs $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$ används INTE i a).

D4NIEL skrev:

Ja, det är stämmer, jag skrev fel i hastigheten. Den sista formeln är utan hänsyn till ordning, med återläggning

Det finns alltså fyra formler att lära sig.

Men i a) använder du alltså med hänsyn till ordning, utan återläggning, dvs  $\displaystyle (n)_k$. Du behöver också det totala antalet permutationer, vilket är med hänsyn till ordning, med återläggning, dvs $\displaystyle n^k$

Utan hänsyn till ordning, med återläggning dvs $\displaystyle \binom{n+k-1}{k}$ används INTE i a).

Ok. Varför används den inte? Vad innebär (n)_k och hur beräknas den?

I den första uppgiften, dvs uppgift a), är vi intresserade av hur vi kan välja 10 unika födelsedagar av 365 utan upprepning.

Det innebär att vi ska välja $n=10$ födelsedagar av $k=365$ möjliga dagar utan återläggning, med hänsyn till ordning. Alltså blir det $(n)_k=(365)_{10}$.

Hur man beräknar $(n)_k$ står i formelbladet du visade i #19.

När du har antalet sätt vi kan välja 10 unika födelsedagar av 365 ska du dela med det totala antalet sätt att välja 10 födelsedagar av 365 möjliga dagar (denna gång behöver inte födelsedagarna vara unika, alltså tillåter vi återläggning). Det innebär att du ska använda $n^k$ (med hänsyn till ordning, med återläggning).

Sannolikheten att 10 personer har 10 olika födelsedagar är alltså 

$\displaystyle p=\frac{(n)_k}{n^k}=\frac{(365)_{10}}{365^{10}}$

Sannolikheten att minst två personer i gruppen fyller år på samma dag är slutligen komplementhändelsen $1-p$. 

Är du med på hur man tänker på uppgift a)?

Försök använda samma "tänk", dvs använd de formler finns finns i #19,  på uppgift b). Jag tror det kan vara enklare. Men i uppgift b) behöver vi också minst ett av de andra uttrycken.

$n=365$ och $k=10$ såklart...

D4NIEL skrev:

I den första uppgiften, dvs uppgift a), är vi intresserade av hur vi kan välja 10 unika födelsedagar av 365 utan upprepning.

Det innebär att vi ska välja $n=10$ födelsedagar av $k=365$ möjliga dagar utan återläggning, med hänsyn till ordning. Alltså blir det $(n)_k=(365)_{10}$.

Hur man beräknar $(n)_k$ står i formelbladet du visade i #19.

När du har antalet sätt vi kan välja 10 unika födelsedagar av 365 ska du dela med det totala antalet sätt att välja 10 födelsedagar av 365 möjliga dagar (denna gång behöver inte födelsedagarna vara unika, alltså tillåter vi återläggning). Det innebär att du ska använda $n^k$ (med hänsyn till ordning, med återläggning).

Sannolikheten att 10 personer har 10 olika födelsedagar är alltså 

$\displaystyle p=\frac{(n)_k}{n^k}=\frac{(365)_{10}}{365^{10}}$

Sannolikheten att minst två personer i gruppen fyller år på samma dag är slutligen komplementhändelsen $1-p$. 

Är du med på hur man tänker på uppgift a)?

Försök använda samma "tänk", dvs använd de formler finns finns i #19,  på uppgift b). Jag tror det kan vara enklare. Men i uppgift b) behöver vi också minst ett av de andra uttrycken.

Jag vet inte vad det är för tänk man ska använda i b)? 

Använd formlerna du visade i inlägg #19 för att uttrycka antalet sätt som de olika fallen kan uppstå på.

D4NIEL skrev:

Använd formlerna du visade i inlägg #19 för att uttrycka antalet sätt som de olika fallen kan uppstå på.

Vad menar du med olika fallen? Jag tänkte P(Minst 3 personer har födelsedag samma dag) =1-P(10 olika födelsedagar)