Vad är storleken och riktningen på den kraft som behövs för att hålla röret stilla?

cirkulär rörelse.

$$\begin{gathered} a=\frac{v^2}{r} \\ F=ma \end{gathered}$$

Hur ska du räkna ut massan för vattnet som befinner sig i kröken?

Du kan använda impulslagen för att lösa detta problem, som är ganska knepigt för att vara ett gymnasieproblem.

Titta på den mängd vatten som finns i kröken vid tiden t. Dess rörelsemängd är p(t). Betrakta sedan samma vattenmängd vid tiden t + $∆t$ - vattenmängden har hunnit förflytta sig något från sitt ursprungliga läge. Vattenmängdens rörelsemängd är då p($t+∆t$).

Impulslagen säger då att

$∆t$ = $\mathit{p}\left(t+∆t\right)-\mathit{p}\left(t\right)$.

Om vi delar båda led med $∆t$ och låter$∆t$ gå mot noll så får vi.

$\mathit{F}\left(t\right)=\underset{∆\mathrm{t}\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{p}(\mathrm{t}+∆\mathrm{t})-\mathbf{p}\left(\mathrm{t}\right)}{∆\mathrm{t}}$.

F(t) är kraften på vattenmängden i kröken vid tiden t. Eftersom vi har ett stationärt flöde så är denna kraft oberoende av vilken tid t vi väljer.

Kraften F(t) beror delvis på den kraft som rörkröken anbringar på vattenmängden så att den ändrar riktning. Men även tyngdkraft och vattentryck bidrar i princip till F(t); en svårighet med detta problem är att man tydligen förväntas försumma dessa bidrag, så man skall anta att vattnet bara påverkas av kraften från rörkröken. Enligt lagen om kraft och motkraft blir vattnets kraft på rörkröken -F(t). För att rörkröken skall förbli stilla så måste en ytterligare kraft (den yttre kraften som efterfrågas) anbringas för att balansera kraften från vattnet. Således måste den yttre kraften vara lika med F(t).

henrikus skrev:

cirkulär rörelse.

$$\begin{gathered} a=\frac{v^2}{r} \\ F=ma \end{gathered}$$

Hur ska du räkna ut massan för vattnet som befinner sig i kröken?

Som jag gjorde?

Vattnets rörelsemängd ändras, så det finns en kraft. Det är inget knepigt med det, det är sådant som man ska lära sig även i gymnasiet.

Räkna ut flödet. Sedan rörelsemängds storlek. Osv.

Gjorde precis en ny beräkning där jag får 5*10^(-2)N istället för 7*10^(-2)N. Vad har jag gjort för fel?

Rita riktning av rörelsemängd innan och efter kroken.

Hur stor är ändringen (vektorsumma)?

Pieter Kuiper skrev:

Rita riktning av rörelsemängd innan och efter kroken.

Hur stor är ändringen (vektorsumma)?

Den är ju redan ritad i bilden

Här försöker man hjälpa...

$$\begin{gathered} F=m\frac{v^2}{r} \\ m=\rho V=\rho ·A·\frac{2\pi r}{4}=... \\ \rho \approx 0,997kg/d{m}^3 \end{gathered}$$

Pieter Kuiper skrev:

Här försöker man hjälpa...

Jag försöker ju förstå

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} F=m\frac{v^2}{r} \\ m=\rho V=\rho ·A·\frac{2\pi r}{4}=... \\ \rho \approx 0,997kg/d{m}^3 \end{gathered}$$

Var får du $\frac{2\mathrm{\pi r}}{4}$ ifrån?

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} F=m\frac{v^2}{r} \\ m=\rho V=1·A·\frac{2\pi r}{4}=... \end{gathered}$$

Det hjälper ju ingenting.

Krökningsradie är inte relevant, är inte given.
 
Jag undrar om du själv vet hur du skulle fortsätta.  Inte bra att leda en elev in på det.

Pieter Kuiper skrev:

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} F=m\frac{v^2}{r} \\ m=\rho V=1·A·\frac{2\pi r}{4}=... \end{gathered}$$

Det hjälper ju ingenting.

Krökningsradie är inte relevant, är inte given.
 
Jag undrar om du själv vet hur du skulle fortsätta.  Inte bra att leda en elev in på det.

$F=m\frac{v^2}{r}=0,2\frac{\pi r}{2}\frac{v^2}{r}=0,1\pi 0,5^2=0,025\pi \approx 0,079$N

Men du har rätt. Det är nog impulslagen som ska användas.

Så glöm detta! Men svaret var ju inte helt fel ...

henrikus skrev: 

$F=m\frac{v^2}{r}=0,2\frac{\pi r}{2}\frac{v^2}{r}=0,1\pi 0,5^2=0,025\pi \approx 0,079$

Men du har rätt. Det är nog impulslagen som ska användas.

Jo, för sedan skulle eleven behöva integrera kraftens riktning över vinklarna för att bli av med en faktor π.
Lite jobbigt (fast det är inte svårt att göra grafiskt).

Dualitetsförhållandet skrev:

henrikus skrev:

$$\begin{gathered} F=m\frac{v^2}{r} \\ m=\rho V=\rho ·A·\frac{2\pi r}{4}=... \\ \rho \approx 0,997kg/d{m}^3 \end{gathered}$$

Var får du $\frac{2\mathrm{\pi r}}{4}$ ifrån?

Sorry. Glöm detta! Använd impulslagen.

Men för att svara på frågan. Omkretsen av en fjärdedels cirkel, dvs kröken.

Pieter Kuiper skrev:

henrikus skrev: 

$F=m\frac{v^2}{r}=0,2\frac{\pi r}{2}\frac{v^2}{r}=0,1\pi 0,5^2=0,025\pi \approx 0,079$

Men du har rätt. Det är nog impulslagen som ska användas.

Jo, för sedan skulle eleven behöva integrera kraftens riktning över vinklarna för att bli av med en faktor π.
Lite jobbigt (fast det är inte svårt att göra grafiskt).

Jag ska tänka lite mer innan jag skriver nästa gång ...

Känner att det är väldigt rörigt här, vilket är det klara svaret?

Det är som vanligt: gör en ritning.

Rita riktning av rörelsemängd innan och efter kroken.

Hur stor är ändringen (vektorsumma)?

Pieter Kuiper skrev:

Det är som vanligt: gör en ritning.

Rita riktning av rörelsemängd innan och efter kroken.

Hur stor är ändringen (vektorsumma)?

Det här är de krafter som krävs för att hålla röret i schack (förra var bara ett wildcard som ni kan glömma):

Eftersom nya vektorn har vinkeln 45 grader blir det det här, inte sant?

Ja, rörelsemängdens ändring får man så här: $\rightarrow + \mathbf{\swarrow} \ = \ \downarrow.$

Henrikus räknade ut kraftens storlek (i ett smalt rör), men kraften måste sedan integreras över ett kontinuum av vinklar. Det är lättast att inse grafiskt: 


Så blir man av med en faktor π och får man en faktor √2.




 

Pieter Kuiper skrev:

Ja, rörelsemängdens ändring får man så här: $\rightarrow + \mathbf{\swarrow} \ = \ \downarrow.$

Henrikus räknade ut kraftens storlek (i ett smalt rör), men kraften måste sedan integreras över ett kontinuum av vinklar. Det är lättast att inse grafiskt: 


Så blir man av med en faktor π och får man en faktor √2.

Tack! En faktor $\frac{\pi }{2}$ska det dock vara.