Vad är totala väntetiden att X1 ochX2 blir högst 12 min? (Matematik/Universitet/Sannolikhet och Statistik)

Linjen $X_1+X_2= 12$ bildar tillsammans med två av kvadratens sidor en triangel i bilden. Om du inte är säker på hur detta ser ut kan du bestämma skärningspunkterna mellan linjen och kvadratens sidor (din bild stämmer inte riktigt; linjen går genom punkten (12,0)).

Den figur som består av punkterna i kvadraten som inte ligger i denna triangel motsvarar de punkter för vilka $X_1+X_2\leq 12$ . Beräkna den arean förslagsvis genom att ta area av kvadrat minus area av triangel.

Du kan jämföra det områdets area (gynsamma utfall) med hela kvadratens area (alla möjliga utfall) för att bestämma den sökta sannolikheten.

Så här ser jag det.

Den blå rektangeln är möjliga utfall; den gröna är gynnsamma utfall.

Gustor skrev:
Linjen $X_1+X_2= 12$ bildar tillsammans med två av kvadratens sidor en triangel i bilden. Om du inte är säker på hur detta ser ut kan du bestämma skärningspunkterna mellan linjen och kvadratens sidor (din bild stämmer inte riktigt; linjen går genom punkten (12,0)).

Den figur som består av punkterna i kvadraten som inte ligger i denna triangel motsvarar de punkter för vilka $X_1+X_2\leq 12$ . Beräkna den arean förslagsvis genom att ta area av kvadrat minus area av triangel.

Du kan jämföra det områdets area (gynsamma utfall) med hela kvadratens area (alla möjliga utfall) för att bestämma den sökta sannolikheten.

Varför stämmer inte bilden? Hur ska bilden se ut?

sictransit skrev:
Så här ser jag det.

Den blå rektangeln är möjliga utfall; den gröna är gynnsamma utfall.

Ja det är samma bild jag har gjort i #1. Är den fel? Vad menar du med att blåa rektangel är alla möjliga utfall och den gröna är gynsamma utfall? Borde inte grön +blå utgöra totala dvs möjliga utfall?

Max väntetid för varje buss är 10 minuter.

Vad har du på lodräta axeln? Det borde vara väntetid 0-10 minuter.

Bubo skrev:
Max väntetid för varje buss är 10 minuter.

Vad har du på lodräta axeln? Det borde vara väntetid 0-10 minuter.

Är inte x-axeln 0 till 10 min? Den lodräta axeln tänker jag mig är typ y värdet men där är jag osäker på om y värdet är 1/10 eller något annat.

De möjliga utfallen är alla par av tider, sådana att den ena tiden är väntetiden på buss 1, och den andra tiden är väntetiden på buss 2.

Bubo skrev:
De möjliga utfallen är alla par av tider, sådana att den ena tiden är väntetiden på buss 1, och den andra tiden är väntetiden på buss 2.

Ok för vi vill att båda deras väntetider ska vara högst 12 min dvs ingen av dem får överstiga 12 min om jag förstått detta rätt.

Bubo skrev:
Max väntetid för varje buss är 10 minuter.

Vad har du på lodräta axeln? Det borde vara väntetid 0-10 minuter.

Bubo skrev:
Bubo skrev:
Max väntetid för varje buss är 10 minuter.

Vad har du på lodräta axeln? Det borde vara väntetid 0-10 minuter.

Jag tror inte jag förstår varför lodräta resp horisontella axeln ska vara 0-10 min? Hur ska koordinatsystemet i denna uppgift egentligen se ut?

Väntetid för "x-bussen" och väntetid för "y-bussen".

Om du får vänta 9 minuter på den första bussen ("x-bussen") och 1 minut på den andra, kan detta representeras av en punkt nere till höger i din kvadrat.

Bubo skrev:
Väntetid för "x-bussen" och väntetid för "y-bussen".

Du menar väntetid för X1 buss och X2 buss eller menar du väntetid för X1 buss och Y1? Jag trodde X1 och X2 var i samma koordinatsystem.

Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Bubo skrev:
Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Ok ja jag tror jag förstår vad du försöker säga. Y-axeln anger X1 och x-axeln anger X2 där både har väntetid mellan 0 till 10 min.

destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Ok ja jag tror jag förstår vad du försöker säga. Y-axeln anger X1 och x-axeln anger X2 där både har väntetid mellan 0 till 10 min.

Precis så.

Det ger att punkten (10, 10) i min graf är det fall där man väntat 10 min på båda bussarna.

destiny99 skrev:
Gustor skrev:
Linjen $X_1+X_2= 12$ bildar tillsammans med två av kvadratens sidor en triangel i bilden. Om du inte är säker på hur detta ser ut kan du bestämma skärningspunkterna mellan linjen och kvadratens sidor (din bild stämmer inte riktigt; linjen går genom punkten (12,0)).

Den figur som består av punkterna i kvadraten som inte ligger i denna triangel motsvarar de punkter för vilka $X_1+X_2\leq 12$ . Beräkna den arean förslagsvis genom att ta area av kvadrat minus area av triangel.

Du kan jämföra det områdets area (gynsamma utfall) med hela kvadratens area (alla möjliga utfall) för att bestämma den sökta sannolikheten.

Varför stämmer inte bilden? Hur ska bilden se ut?

Linjen du ritat ser ut att skära den vågräta axeln i en punkt för vilken x<10, vilket inte stämmer (se sictransits bild).

sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Ok ja jag tror jag förstår vad du försöker säga. Y-axeln anger X1 och x-axeln anger X2 där både har väntetid mellan 0 till 10 min.

Precis så.

Det ger att punkten (10, 10) i min graf är det fall där man väntat 10 min på båda bussarna.

Ok. Då kommer grafen ser ut såhär. Vi har då fyra hörn på rektangeln. Vi har sen att X1+X2<=12 dvs X1+X2=12 uppfylls då vi har antingen punkter som (0,12) eller (12,0)

destiny99 skrev:
sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Ok ja jag tror jag förstår vad du försöker säga. Y-axeln anger X1 och x-axeln anger X2 där både har väntetid mellan 0 till 10 min.

Precis så.

Det ger att punkten (10, 10) i min graf är det fall där man väntat 10 min på båda bussarna.

Ok. Då kommer grafen ser ut såhär. Vi har då fyra hörn på rektangeln. Vi har sen att X1+X2<=12 dvs X1+X2=12 uppfylls då vi har antingen punkter som (0,12) eller (12,0)

Precis! Dra en linje mellan dessa punkter (0, 12) och (12, 0) så är grafen komplett.

sictransit skrev:
destiny99 skrev:
sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Ja, jag använde x och y där din bok använder X1 och X2.

Jag brukar inte bry mig så mycket om vilka symboler man använder...

Tillägg: Det borde jag göra.

Ok ja jag tror jag förstår vad du försöker säga. Y-axeln anger X1 och x-axeln anger X2 där både har väntetid mellan 0 till 10 min.

Precis så.

Det ger att punkten (10, 10) i min graf är det fall där man väntat 10 min på båda bussarna.

Ok. Då kommer grafen ser ut såhär. Vi har då fyra hörn på rektangeln. Vi har sen att X1+X2<=12 dvs X1+X2=12 uppfylls då vi har antingen punkter som (0,12) eller (12,0)

Precis! Dra en linje mellan dessa punkter (0, 12) och (12, 0) så är grafen komplett.

Japp det gjorde jag. Såhär ser det ut. Men vi söker den där arean P(X1<=12-X2)

Nästan!

Vi söker arean jag markerat med grönt, hur stor den är i förhållande till den orange kvadraten:

De röda trianglarna jag markerat uppfyller förvisso villkoret väntetid <= 12 minuter, men de kan inte inträffa eftersom bussarnas individuella väntetider är <= 10 minuter.

sictransit skrev:
Nästan!

Vi söker arean jag markerat med grönt, hur stor den är i förhållande till den orange kvadraten:

De röda trianglarna jag markerat uppfyller förvisso villkoret väntetid <= 12 minuter, men de kan inte inträffa eftersom bussarnas individuella väntetider är <= 10 minuter.

Hm vad representerar de röda trianglarna,gröna området samt orange rektangel för areor? Vad representerar alla dessa områden?

destiny99 skrev:
sictransit skrev:
Nästan!

Vi söker arean jag markerat med grönt, hur stor den är i förhållande till den orange kvadraten:

De röda trianglarna jag markerat uppfyller förvisso villkoret väntetid <= 12 minuter, men de kan inte inträffa eftersom bussarnas individuella väntetider är <= 10 minuter.

Hm vad representerar de röda trianglarna,gröna området samt orange rektangel för areor?

Du hade själv markerat ett område som består av mitt gröna + de två röda.

Jag har bara huggit bort två delar/ytterligheter som inte kan inträffa givet förutsättningarna.

Så P(x1+x2 <= 12) är bara det gröna, inte det något större området du markerat.

sictransit skrev:
destiny99 skrev:
sictransit skrev:
Nästan!

Vi söker arean jag markerat med grönt, hur stor den är i förhållande till den orange kvadraten:

De röda trianglarna jag markerat uppfyller förvisso villkoret väntetid <= 12 minuter, men de kan inte inträffa eftersom bussarnas individuella väntetider är <= 10 minuter.

Hm vad representerar de röda trianglarna,gröna området samt orange rektangel för areor?

Du hade själv markerat ett område som består av mitt gröna + de två röda.

Jag har bara huggit bort två delar/ytterligheter som inte kan inträffa givet förutsättningarna.

Så P(x1+x2 <= 12) är bara det gröna, inte det något större området du markerat.

Ok för jag markerade dem pga X1<=12-X2. Hur vet jag att trianglarna inte ingår här?

Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Vilka möjliga utfall utgör den orangea rektangel?

destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Vilka möjliga utfall utgör den orangea rektangel?

Alla möjliga totala väntetider: 0 <= x1+x2 <= 20.

sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Vilka möjliga utfall utgör den orangea rektangel?

Alla möjliga totala väntetider: 0 <= x1+x2 <= 20.

Var kommer 20 ifrån? Det ska väl vara 0<=x1+x2<=12

destiny99 skrev:
sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Vilka möjliga utfall utgör den orangea rektangel?

Alla möjliga totala väntetider: 0 <= x1+x2 <= 20.

Var kommer 20 ifrån?

Hur många bussar skall du ta? Hur lång är maximala väntetiden per buss?

sictransit skrev:
destiny99 skrev:
sictransit skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Vilka möjliga utfall utgör den orangea rektangel?

Alla möjliga totala väntetider: 0 <= x1+x2 <= 20.

Var kommer 20 ifrån?

Hur många bussar skall du ta? Hur lång är maximala väntetiden per buss?

Väntetiderna är mellan 0 och 10 min för X1 och X2. Arean av rektangel är ju 20 men vad det innebär för sannolikhet vet jag inte.

Bubo skrev:
Orange rektangel är alla möjliga utfall. Väntetiden på buss X1 är minst noll och högst tio minuter. Du kan aldrig vänta mindre än noll minuter, och du kan aldrig vänta mer än tio minuter.

Samma för den andra bussen.

Det blir ju något sånt eller hur? Den blåa områden är arean där summan är mellan 0 och 20 efter X1 varierar mellan 0 och 10 och likadant med X2. De gröna areorna är utanför väntetiderna för X1 och X2.

Testa att rita in punkten $x_1=6$ och $x_2=10$ i din graf. Hamnar den verkligen inuti det blå området?

D4NIEL skrev:
Testa att rita in punkten $x_1=6$ och $x_2=10$ i din graf. Hamnar den verkligen inuti det blå området?

Nej den är utanför. Min bild är ej skalenlig. Såhär ser den ut om jag ritar om den

Ja, rätt.

"Idag fick jag vänta 8 minuter på första bussen och sedan 9 minuter på andra bussen" betyder en punkt långt upp till höger, utanför blått område.

"Idag fick jag vänta 3 minuter på första bussen och sedan 2 minuter på andra bussen" betyder en punkt långt ner till vänster, inom blått område.

Bubo skrev:
Ja, rätt.

"Idag fick jag vänta 8 minuter på första bussen och sedan 9 minuter på andra bussen" betyder en punkt långt upp till höger, utanför blått område.

"Idag fick jag vänta 3 minuter på första bussen och sedan 2 minuter på andra bussen" betyder en punkt långt ner till vänster, inom blått område.

Jag löste uppgiften med flervarre kunskaper men får dessvärre fel svar. Rätt svar är 0.68

Det går finemang med lite mer primitiva metoder, areor och geometrin från högstadiet:

A(gynnsamma) = A(samtliga utfall) - A(ej gynnsamma)

A(samtliga utfall), alltså hela kvadraten: $10 \times 10 = 100$

A(ej gynnsamma), alltså den lila triangeln: $\frac{8 \times 8}{2} = 32$

A(gynnsamma): $100 - 32 = 68$

Där har du svarets 68%.

sictransit skrev:
Det går finemang med lite mer primitiva metoder, areor och geometrin från högstadiet:

A(gynnsamma) = A(samtliga utfall) - A(ej gynnsamma)

A(samtliga utfall), alltså hela kvadraten: $10 \times 10 = 100$

A(ej gynnsamma), alltså den lila triangeln: $\frac{8 \times 8}{2} = 32$

A(gynnsamma): $100 - 32 = 68$

Där har du svarets 68%.

Jag skulle gärna vilja veta vad som gått snett med min flervarre dubbelintegral som går att lösa uppgiften med.

Du har fel gränser.

Du har fått med en av dina små blå trianglar.

Bubo skrev:
Du har fel gränser.

Du har fått med en av dina små blå trianglar.

Jaha okej. Vilka gränser ska man ha då? Hur ska man tänka där utan att ta med de gröna trianglarna och vita triangel utan färg? Jag var så säker på att jag gjorde rätt med gränserna

Du skulle kunna börja med att rita ut dina gränser i figuren från inlägg 36.

Bubo skrev:
Du skulle kunna börja med att rita ut dina gränser i figuren från inlägg 36.

Jag tänkte bara att vi rör oss från 0 till 10 i X2 led och 0 till 12-X2 i X1 led.

destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Du skulle kunna börja med att rita ut dina gränser i figuren från inlägg 36.

Jag tänkte bara att vi rör oss från 0 till 10 i X2 led och 0 till 12-X2 i X1 led.

Det är fel.

När man ritar brukar man hitta sådana fel lättare.

Bubo skrev:
destiny99 skrev:
Bubo skrev:
Du skulle kunna börja med att rita ut dina gränser i figuren från inlägg 36.

Jag tänkte bara att vi rör oss från 0 till 10 i X2 led och 0 till 12-X2 i X1 led.

Det är fel.

När man ritar brukar man hitta sådana fel lättare.

OK. Jag vet inte vad jag ska rita här.

Du vill integrera din täthetsfunktion (som är konstant 1/100 min^-2) över det intressanta området.

Markera det intressanta området.

Bubo skrev:
Du vill integrera din täthetsfunktion (som är konstant 1/100 min^-2) över det intressanta området.

Markera det intressanta området.

Ja där jag ritade i blått som är x1+x2<=12

...och gränserna?

Bubo skrev:
...och gränserna?

Ja det är där jag fastnade på. Såhär gjorde jag. Där blir det två areor med två olika gränser?

Du är nog på rätt väg. Det område du menar är inte det område som beskrivs av de gränser du använder.

Jag ser inte riktigt vad du har gjort i figuren.

Bubo skrev:
Du är nog på rätt väg. Det område du menar är inte det område som beskrivs av de gränser du använder.

Jag ser inte riktigt vad du har gjort i figuren.

Jag drog en linje från x1=2 till x2=10. Jag kan ej markera i figuren de gränser som är felaktiga i #36 så jag föreslår kanske att du gör det så kan jag se vad du menar. Justnu är jag inte heller med på var vi är på väg här.

Det som blev fel tidigare var övre gränsen 12-x1, som gjorde att du fick med en av de små blå trianglarna.

Bubo skrev:
Det som blev fel tidigare var övre gränsen 12-x1, som gjorde att du fick med en av de små blå trianglarna.

Ja okej.

Vilka är de korrekta gränserna då och hur finner vi dem? Har tyvärr kört fast på hur man ska hitta dem.

Du får dela in området i två. Från x1=0 till x1=2 ska övre gränsen vara 10, inte 12-x1.

Laguna skrev:
Du får dela in området i två. Från x1=0 till x1=2 ska övre gränsen vara 10, inte 12-x1.

Jag är inte säker på hur du menar här. Tidigare drog jag en linje där jag fick en rektangel där x1 går från 0 till 2 i höjdled och x2 går från 0 till 10. Menar du så?

Det är väl de här områdena du får integrera var för sig.

sictransit skrev:
Det är väl de här områdena du får integrera var för sig.

Så om vi börjar med att integrera röda området. Är det gränserna 0 till 2 för X2 och sen 0 till 10 för x1?

Stämmer det här? När jag lägger ihop alla så får jag 0.84 vilket inte är korrekt. Något har gått snett men vet ej vad. Kanske är det inte meningen att integrera i denna uppgift för svaret blir dessvärre inte rätt. Men deras areor blir ju 20+16+32=68

Nej, i den andra termen har du t.ex. Samma värde på undre och övre gräns för en variabel.

Börja med rödmarkerat område. Ser du att där går ditt X2 från noll till 2, och ditt X1 går från 0 till 10?

Vad gäller för det grönmarkerade området?

Bubo skrev:
Nej, i den andra termen har du t.ex. Samma värde på undre och övre gräns för en variabel.

Börja med rödmarkerat område. Ser du att där går ditt X2 från noll till 2, och ditt X1 går från 0 till 10?

Vad gäller för det grönmarkerade området?

Ja det gör jag. Grönmarkerade område måste vara från x=2 till x=10 för X2 och sen x=2 till x=10 för X1

Där beskrev du en kvadrat.

Vilka x1 ingår i området, för ett visst x2-värde?

Bubo skrev:
Vilka x1 ingår i området, för ett visst x2-värde?

x1=2 upp till x1=10.

Vilka x1 ingår i området, för x2 =5?

Bubo skrev:
Vilka x1 ingår i området, för x2 =5?

alla tal från x1=0 till x1=8. Det låter som att x2 går från 2 till 10 medan x1 varierar med en rät linje för gröna området där det lägsta är 0 och högsta är x1

Just det! Där har du din sista pusselbit till lösningen.

(Fast du menar 7, inte 8)

X1 går upp till 12-X2 i det gröna området.

Bubo skrev:
Just det! Där har du din sista pusselbit till lösningen.

(Fast du menar 7, inte 8)

X1 går upp till 12-X2 i det gröna området.

Jag vet ej om vi förstår varandra i det här långa tråd. Men detta är vad jag har för integraler att räkna ut. Gränserna kommer alltså från bilden i samma figur. Vi har en rektangel (lång) , en mini rektangel och en triangel. Förut sa du att man inte kan integrera från x=0 till x1=12-x2 som jag hade förut och nu ska den med tydligen? Men kan man verkligen säga att x1 bör varierar mellan 0 och 12-X2? Ta tex x2=1 så blir x1=11 vilket är utanför vårt område.

P(X1+X2=<12)=1-P(X1+X2>12). Kan det vara enklare att räkna ut komplementet?

rapidos skrev:
P(X1+X2=<12)=1-P(X1+X2>12). Kan det vara enklare att räkna ut komplementet?

Jo absolut det kan man. Men då måste man veta vad P(X1+X2<12) är i figuren. Svårt om man ej har skissat detta utfallsrum

Försök undvik beräkna integralerna om de har konstant integrand. Det är samma sak som arean.

Trinity2 skrev:
Försök undvik beräkna integralerna om de har konstant integrand. Det är samma sak som arean.

De fyra integralerna kan jag inte avläsa hur du fann gränserna.

Lilla triangel däruppe borde ha gränserna 10 till 2 i x1 samt 10 till 12-x1 i x2

Såhär gjorde jag. Det där är väl rätt?

P(x1+X2>12) motsvarar den "vita triangeln" i figuren= 1/2*8*8 =32 => P(>12)=0.32 eftersom utfallsrummet är 100

=> P(X1+X2<=12)= 0.68

Jag tar en genomgång från början.

För varje buss gäller att man får vänta högst tio minuter, och ingen tid är mer sannolik än någon annan. Väntetiden på en buss är rektangelfördelad. Med sannolikheten 0.1 kommer bussen första minuten man väntar, med sannolikhet 0.3 kommer den sjätte, sjunde eller åttonde minuten. Fördelningsfunktionen har värdet 1/10 min^-1 överallt där den inte är noll.

För EN buss har vi alltså den här fördelningsfunktionen:

För TVÅ bussar blir det en TVÅdimensionell fördelningsfunktion. Det är bara värden från noll till tio minuter som är möjliga, för vardera bussen. Fördelningsfunktionen är alltså NOLL för alla X1 och X2 sådana att X1 eller X2 är negativt eller större än 10 minuter.

För de X1 och X2 där fördelningsfunktionen inte är noll, har den samma värde överallt. Totala sannolikheten är - som alltid - lika med 1.00. Vi kommer ju helt säkert att åka med den första bussen efter någon väntetid, och sedan med den andra bussen efter någon väntetid.

Fördelningsfunktionen har värdet 1/100 min^-2 överallt där den inte är noll.

Titta på nedre vänstra området här:

- Om vi väntar mindre än två minuter på den första bussen, blir den totala väntetiden helt säkert högst tolv minuter.

Sannolikheten att detta händer är sannolikheten att vi väntar mindre än två minuter på första bussen

$\int_{0}^{2 m i n} \frac{1}{10} \cdot m i n^{- 1} d t = 0.2$

- Om vi väntar M minuter på den första bussen, med M>2, hoppas vi att den andra väntetiden blir högst (12-M) minuter. Sannolikheten för detta är (12-M)/10, alltså 1.00 för M=2, 0.5 för M=7 och 0.3 för M=9.

Sannolikheten att detta händer, för alla M sådana att 2<M<10, är

$\int_{2 m i n}^{10 m i n} \int_{0}^{12 m i n - x_{1}} \frac{1}{100} \cdot m i n^{- 2} d x_{2} d x_{1}$ = 0.48

Eftersom fördelningsfunktionen har samma värde överallt, kunde vi helt enkelt jämfört areorna. Den nedre vänstra delen är 68% av totala arean.