19 svar
226 visningar
hejhej11111 2
Postad: 26 jun 2020

vad är xy

(x+y)²=20

x^2+y^2=4

vad är därmed xy

--------------------

Jag har testat ett par olika metoder men kommer inte fram till en lösning

Välkommen till Pluggakuten!

Skriv om VL för den första ekvationen med hjälp av kvadreringsregeln. Hur blir det då?

hejhej11111 2
Postad: 26 jun 2020
Smaragdalena skrev:

Välkommen till Pluggakuten!

Skriv om VL för den första ekvationen med hjälp av kvadreringsregeln. Hur blir det då?

x^2+2xy+y^2=20

x^2+y^2=4

därför är

2xy=16

xy=8

tack, har inte ens tänkt på det

Dr. G 5479
Postad: 26 jun 2020

Är x och y reella tal?

Är xy = 8 i så fall möjligt, samtidigt som x^2 + y^2 = 4?

Qetsiyah 3681
Postad: 26 jun 2020

Ja...? Eller vadå?

Laguna 9049
Postad: 26 jun 2020
Qetsiyah skrev:

Ja...? Eller vadå?

Ekvationssystemet går ju att lösa. Prova. 

Jroth 705
Postad: 26 jun 2020 Redigerad: 26 jun 2020

Låt x=rsin(θ),  y=rcos(θ)x=r\sin(\theta),\quad y=r\cos(\theta) samt x2+y2=r2=4x^2+y^2=r^2=4

xy=r2sin(θ)cos(θ)xy=r^2\sin(\theta)\cos(\theta)=8

sin(2θ)=4\sin(2\theta)=4

Ouch.

Qetsiyah 3681
Postad: 26 jun 2020

Vadå ouch? Vem påstår vad? Jag fattar ingenting

Yngve 16186 – Volontär digitala räknestugor
Postad: 27 jun 2020 Redigerad: 27 jun 2020
Qetsiyah skrev:

Vadå ouch? Vem påstår vad? Jag fattar ingenting

Ouch, på så sätt att ekvationen sin(2Θ)=4\sin(2\Theta)=4 saknar lösning.

På samma sätt som ekvationssystemet

x2+y2=4x^2+y^2=4

(x+y)2=20(x+y)^2=20

saknar (reella) lösningar:

Däremot finns komplexa lösningar, men jag tror att det ligger över Matte 3 att hitta dem.

Kanske konstanterna i ekvationssystemet egentligen ska ha andra värden?

Qetsiyah 3681
Postad: 27 jun 2020

Åh ja, det såg jag inte, eller brydde mig inte snarare. Uppgiftaskaparen vill bara att man ska lära sig använda kvadreringsregeln, men det är ju en lite kul spinoff att hitta x och y

Det verkar vara en uppgift där konstruktören inte har tänkt tillräckligt långt. Intressantare än jag trodde!

Laguna 9049
Postad: 27 jun 2020

Komplexa tal nämns redan i Matte 2, så då är väl uppgiften rimlig. 

tomast80 2985
Postad: 27 jun 2020
Laguna skrev:

Komplexa tal nämns redan i Matte 2, så då är väl uppgiften rimlig. 

Känns som det blir en avancerad övning att bestämma xx och yy. Motbevisa mig gärna om det är enkelt och på gymnasienivå.

Uppgiften är endast att bestämma värdet för xy, inte x eller y.

Qetsiyah 3681
Postad: 27 jun 2020

tomast80 skrev:

Känns som det blir en avancerad övning att bestämma xx och yy. Motbevisa mig gärna om det är enkelt och på gymnasienivå.

Jo jag tyckte ovkså det, jag kan inte komma på nåt sätt spontant

Jroth 705
Postad: 27 jun 2020

Man kan bubbla på med PQ-formeln, xy=8xy=8 ger y=8xy=\frac{8}{x}

x4+64=4x2x^4+64=4x^2

x1234=±2±2i15x_{1234}=\pm\sqrt{2\pm2i\sqrt{15}}

tomast80 2985
Postad: 27 jun 2020
Jroth skrev:

Man kan bubbla på med PQ-formeln, xy=8xy=8 ger y=8xy=\frac{8}{x}

x4+64=4x2x^4+64=4x^2

x1234=±2±2i15x_{1234}=\pm\sqrt{2\pm2i\sqrt{15}}

Snyggt! Vad blir lösningarna på formen:

a+bia+bi ?

Laguna 9049
Postad: 27 jun 2020

Om man använder det man vet om xy kan man också få fram (x-y)2(x-y)^2.

Jroth 705
Postad: 28 jun 2020 Redigerad: 28 jun 2020

För att hitta talen på formen a+bi kan man ha nytta en liten hjälptriangel:

Låt oss titta på den första roten från principalgrenen x1=8(cos(θ2)+isin(θ2))x_1=\sqrt{8}(\cos(\frac{\theta}{2})+i\sin(\frac{\theta}{2})). Eftersom cos2(θ2)=1+cos(θ)2cos^2(\frac{\theta}{2})=\frac{1+\cos(\theta)}{2} och motsvarande för sinus halva vinkeln samt cos(θ)=1/4\cos(\theta)=1/4 ur hjälptriangeln 

x1=8(1+cos(θ)2+i1-cos(θ)2)=5+i3x_1=\sqrt{8}(\sqrt{\frac{1+\cos(\theta)}{2}}+i\sqrt{\frac{1-\cos(\theta)}{2}})=\sqrt{5}+i\sqrt{3}.

Eftersom yi=x¯iy_i=\bar{x}_i har vi alltså avslutningsvis:

x1=5+i3,  y1=5-i3x_1=\sqrt{5}+i\sqrt{3},\quad y_1=\sqrt{5}-i\sqrt{3}

x2=5-i3,  y2=5+i3x_2=\sqrt{5}-i\sqrt{3},\quad y_2=\sqrt{5}+i\sqrt{3}

x3=-5+i3,  y3=-5-i3x_3=-\sqrt{5}+i\sqrt{3},\quad y_3=-\sqrt{5}-i\sqrt{3}

x4=-5-i3,  y4=-5+i3x_4=-\sqrt{5}-i\sqrt{3},\quad y_4=-\sqrt{5}+i\sqrt{3}

----------------------------------------------------------------------------------------------------

En alternativ lösningsgång, låt x=z,y=z¯x=z,\,y=\overline{z}:

Eftersom (xy) zz¯=|z|2=8z\overline{z}=|z|^2=8 samt z2+z¯2=4z^2+\overline{z}^2=4 får vi med z=a+ibz=a+ib ekvationssystemet

a2+b2=8a^2+b^2=8

a2-b2=2a^2-b^2=2

Lägger vi ihop den första ekvationen med den andra får vi

2a2=102a^2=10 och därmed a=±5a=\pm\sqrt{5}  samt b=±3b=\pm\sqrt{3}

Laguna 9049
Postad: 28 jun 2020

(x+y)2=20(x+y)^2 = 20

x2+2xy+y2=20x^2+2xy+y^2 = 20

x2+y2=4x^2+y^2 = 4

2xy=20-4=162xy = 20-4=16

xy=8xy = 8

x2-2xy+y2=4-16=-12x^2-2xy+y^2 = 4-16=-12

(x-y)2=-12(x-y)^2 = -12

x+y=±20x+y = \pm\sqrt{20}

x-y=±i12x-y = \pm i \sqrt{12}

Osv.

Svara Avbryt
Close