4 svar
187 visningar
Hypn0tic 88 – Fd. Medlem
Postad: 10 dec 2019 20:49

Vad har jag för användning av symmetrilinjen?

När en fråga innehåller någon slags funktion och nollställen känns det som att jag kan ta reda på vad jag vill för att sedan svara på frågan.

Men på en fråga här så står det: Bestäm konstanterna och så att funktionen f(x)=x2+bx+c. har minimipunkten

(3, -6). Här vet jag om extrempunkten men också symmetrilinjen. Vad gör jag här för att lösa uppgiften?

 

Jag har försökt sätta in koordinaterna i själva formeln, så här: -6=32+b×3+c. men kommer tyvärr inte fram till rätt svar. Har ingen aning vad jag ska göra härifrån.

Trinity2 1802
Postad: 10 dec 2019 21:31

I denna uppgift skall du kvadratkomplettera

x2+bx+c=(x+b/2)2-b2/4+cx^2+bx+c=(x+b/2)^2-b^2/4+c

Detta är en konvex andragradsfunktion som har sitt minimum när x+b/2=0x+b/2=0 d.v.s. x=-b/2x=-b/2.

Om nu (3,-6)(3,-6) var minimupunkten har vi ekvationen 3=-b/23=-b/2 och b=-6b=-6.

Alltså har vi att (x+b/2)2-b2/4+c=(x-3)2-36/4+c(x+b/2)^2-b^2/4+c=(x-3)^2-36/4+c

Det minsta värde (x-3)2-36/4+c(x-3)^2-36/4+c kan anta (vilket sker när x=3x=3) är -36/4+c-36/4+c vilket skulle vara 6, d.v.s. -36/4+c=6-36/4+c=6 vilket ger c=3c=3.

Alltså har vi funktionen f(x)=x2-6x+3f(x)=x^2-6x+3

Yngve 39994 – Livehjälpare
Postad: 10 dec 2019 22:51 Redigerad: 10 dec 2019 23:08

Ett annat sätt att tänka är följande:

Funktionen f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c har symmetrilinje x=-b2x=-\frac{b}{2}.

Detta vet vi eftersom nollställena enligt pq-formeln ligger på var sin sida om och lika långt ifrån just denna linje.

Minimipunkten är (3;-6)(3;-6), vilket innebär att symmetrilinjen är x=3x=3.

Det ger oss att 3=-b23=-\frac{b}{2}, dvs b=-6b=-6.

Nu har vi bestämt värdet av bb och vi kan då skriva f(x)=x2-6x+cf(x)=x^2-6x+c.

Eftersom vi vet att f(3)=-6f(3)=-6 så kan vi nu enkelt bestämma cc genom att lösa ekvationen -6=32-6·3+c-6=3^2-6\cdot3+c

----------

Fråga: Det står "Bestäm konstanterna a och b" men det gäller väl b och c?

Hypn0tic 88 – Fd. Medlem
Postad: 10 dec 2019 23:18
Yngve skrev:

Ett annat sätt att tänka är följande:

Funktionen f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c har symmetrilinje x=-b2x=-\frac{b}{2}.

Detta vet vi eftersom nollställena enligt pq-formeln ligger på var sin sida om och lika långt ifrån just denna linje.

Minimipunkten är (3;-6)(3;-6), vilket innebär att symmetrilinjen är x=3x=3.

Det ger oss att 3=-b23=-\frac{b}{2}, dvs b=-6b=-6.

Nu har vi bestämt värdet av bb och vi kan då skriva f(x)=x2-6x+cf(x)=x^2-6x+c.

Eftersom vi vet att f(3)=-6f(3)=-6 så kan vi nu enkelt bestämma cc genom att lösa ekvationen -6=32-6·3+c-6=3^2-6\cdot3+c

----------

Fråga: Det står "Bestäm konstanterna a och b" men det gäller väl b och c?

Det är faktiskt jag som skrivit fel, det står faktiskt bestäm konstanterna b och c. 

En fråga dock. Jag vet att för att räkna ut symmetrilinje så tar man nollställerna, adderar de tillsammans och delar på 2. Därför är jag lite förvirrad till varför du använder formeln x=-b2. Vad är b här? Och varför är det ett negativt tecken innan?

Yngve 39994 – Livehjälpare
Postad: 11 dec 2019 07:08 Redigerad: 11 dec 2019 07:11
Hypn0tic skrev:

Det är faktiskt jag som skrivit fel, det står faktiskt bestäm konstanterna b och c. 

En fråga dock. Jag vet att för att räkna ut symmetrilinje så tar man nollställerna, adderar de tillsammans och delar på 2. Därför är jag lite förvirrad till varför du använder formeln x=-b2. Vad är b här? Och varför är det ett negativt tecken innan?

Om f(x)=x2+bx+cf(x)=x^2+bx+c så kan du hitta nollställena genom att använda pq-formeln. Enligt den har ekvationen x2+bx+c=0x^2+bx+c=0 lösningarna x=-b2±(b2)2-cx=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}.

Det betyder att det ena nollstället ligger vid x1=-b2-(b2)2-cx_1=-\frac{b}{2}-\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c} och det andra vid x2=-b2+(b2)2-cx_2=-\frac{b}{2}+\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}.

Medelvärdet av dessa värden är x1+x22=-b2\frac{x_1+x_2}{2}=-\frac{b}{2}, vilket betyder att symmetrilinjen är x=-b2x=-\frac{b}{2}.

Pq-formeln är enkel och mycket användbar. Den följer direkt ur kvadratkompletteringen som Trinity2 beskrev:

Eftersom f(x)=(x+b2)2-(b2)2+cf(x)=(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c så lyder ekvationen f(x)=0f(x)=0 på följande sätt:

(x+b2)2-(b2)2+c=0(x+\frac{b}{2})^2-(\frac{b}{2})^2+c=0

(x+b2)2=(b2)2-c(x+\frac{b}{2})^2=(\frac{b}{2})^2-c

x+b2=±(b2)2-cx+\frac{b}{2}=\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}

x=-b2±(b2)2-cx=-\frac{b}{2}\pm\sqrt{(\frac{b}{2})^2-c}

Svara
Close