Vad ska jag göra?

Är du med på att (a+b)⁴ ,= a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴?

Yngve skrev:

Är du med på att (a+b)⁴ ,= a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴?

Ja.

Bra. Ersätt nu a med cos(v) och b med i*sin(v) och förenkla.

Då blir det som bilden med lösningen. 

Sedan har de "jämförelse av realdelar och imaginärdelar", är det en ny uppgift?

Hejsan266 skrev:

Då blir det som bilden med lösningen. 

Sedan har de "jämförelse av realdelar och imaginärdelar", är det en ny uppgift?

Du kan skriva (cos v + i sin v)^4 på 2 olika sät

Sätt 1. De Moivres formel

(cos v + i sin v)^4 = cos 4v + i sin 4v

Sätt 2: Utveckling av (cos v + i sin v)^4. Här måste du använda dig av binomialsatsen eller Pascals triangel och du får 

Nu kommer "huvudnumret". Ur denna röra skall du seprarera de termer som INTE har "i" från de som har "i", du får då

(.... + ... + ....) + i(.... + ... + ....)

Gör denna tråkiga räkning.

Du har nu funnit att, då de båda sätten är likvärdiga att

cos 4v + i sin 4v = (.... + ... + ....) + i(.... + ... + ....)

Du kan nu identifiera realdelen och imaginärdelen på båda sidor om =

cos 4v = (.... + ... + ....)

sin 4v = (.... + ... + ....) //ja, det ser här lika ut som raden ovan, men det är det inte när du väl räknar på det

Du har därmed löst uppgifen.

Den är lite tråkiga räkningar, men det är bara att bita ihop och kämpa sig igenom dem. Tänk på att i^2=-1, i^3=-i och i^4=1 så blir det snyggt.

Det som ligger till grund för det sista steget "Jämförelse av real- och imaginärdelar" är följande:

Två komplexa tal a+bi och c+di är lika endast om a = c och b = d.

Det går att inse om du tänker dig att du markerar de två talen som punkter i det komplexa talplanet.

Den ena punkten har då koordinaterna (a, b) och det andra talet har koordinaterna (c, d).

De två talen är lika om punkterna ligger på samma ställe.

Detta kräver att a = c och b = d.